بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنكمل في مادة نظرية الآلات و هنستكمل
balancing of rotating masses بعدين المحاضرة
الأولى بتوزين كتلة بكتلة أخرى تدور في نفس المستوى
بعدين وزننا كتلة واحدة بكتلتين تدوران في مستويين ..
يعني في مستويين مختلفين عن مستوى الكتلة المراد
توزينها، بعدين شوفنا كيف نوزن مجموعة من الكتل بكتلة
واحدة، كلهم يدورون في نفس المستوى، اليوم هنكمل
هنشوف balancing of several masses rotating in
different planes. أنا عندي masses M1, M2, M3, M4
تدور في المستويات، هذا مستوى، هذا مستويات، هذا طبعًا
هذا محور الدوران. M1, M2, M3, M4 تدور في مستويات
مختلفة.
زي ما حكينا بدي أوزن الكتل M1, M2, M3 المعروفة هذه
في أربعة مستويات مختلفة، من الـ end view حيكون دي M1
على
radius R1، و M2 على
radius R2، و M3 على
radius R3، و M4 على
radius R4. طيب
بدي أعملهم balance من خلال كتلتين، كتلة واحدة
واقعة في المستوى L، وكتلة أخرى واقعة في
المستوى M، واعتبرت الـ L هو الـ reference frame، هذا ..
هذا .. هذا المستوى واحد، اثنين L، ثلاثة M، أربعة، و
هذا هو الـ reference plane، على شماله الـ negative، و
على يمينه الـ موجب. طبعًا الكتلة M1 تبعد مسافة عن
مستوى الـ reference، الواحد، و
هنا الاثنين، وهنا الثلاثة، وهنا
لل كتلة الثانية، الـ M
والكتلة الرابعة، الأربعة
عند
هذه الكتلة، MM
على بعد radius RM، والكتلة LML على بعد radius RL
طبعًا each mass ستعمل centrifugal force، ستعمل
centrifugal force، قيمة
الـ centrifugal، فوقها هعمل جدول
هي الـ number، 1، 2، 3،
أم أربعة. بدأت من الشمال، 1، 2، 3، أم
أربعة، الكتلتين
هتكون دي M1، هذه M2، هذه M3، M4
M، M، و M4، M، M، و M4، الـ
radius for each mass are، هتكون هذه R1، و R2، عندي R
واحد، و
RL، و R2، و R3، و RM، و R4
الـ Centrifugal Force اللي هي Fc، لكل Omega Square
هتكون سواء M في R، يعني
هتكون هذه M1R1، MLRl، M2R2، M3R3، MMRm، M4R4
الآن الـ distance، المسافة من الـ reference plane
المسافة من الـ reference plane الـ ..
اللي إحنا حكيناه، على الشمال بيكون إشارته سالبة، الآن
الـ distance من الـ reference plane للواحد هيبقى
لِـ الواحد، الـ ما هي الـ reference، الـ صفر، هي الـ
الاثنين، الثلاثة، الـ M
الأربعة، لأن قيمة الـ moment حول الـ reference
plane، قيمة الـ moment حول الـ reference plane
بتكون مساوية الـ centrifugal force في المسافة، في الـ
distance
L على Omega Square، اللي هتكون MRL، هتكون
-M1R1L1
+ M2R2L2
+m3r3l3+mmrmlm+m4r4l4
طبعًا كل واحد .. كل .. كل centrifugal force بتعمل زاوية
theta .. زاوية θ، هنا عندي θ1، θ
θ2، θ3، θm، θ4، من الـ
positive x axis، من الـ positive x axis، الآن
الـ M1 ستعمل force Fc1
و M2 ستعمل force Fc2، و MM ستعمل force Fcm
و الـ M3 ستعمل الـ centrifugal force Fc3
و الـ ML ستعمل الـ centrifugal force Fcl
و هذه ستعمل الـ centrifugal force Fc4
هذه الـ centrifugal force، هذا
الـ couple due
to centrifugal force
الآن أنا في الأول لازم أعمل summation of forces
بالمساواة صفر، معناته هرسم الـ .. الـ .. الـ .. الـ ..
الـ polygon بتاع الـ forces Fc1، Fc2، Fc3، وده أرسم
الـ polygon بتاع الـ couples due to Fc1، Fc2، Fcm،
Fc3، Fcl، Fc4. لو أخدت الكتلة 1
لحظة هذه الـ Fc1، يعني
الـ Fc1 من الـ end view هتكون جاية هيك، هذه الـ
Fc1، الـ couple
الناجم، المسافة، الـ couple حول الـ L، الكابل حول
الـ reference plane، هذا هيكون Fc1 في الـ L1، هيكون
عمودي، عندي هذا خط، و هذا خط عمودي على المستوى هذا
يعني هيكون بهذا الاتجاه، يعني الكابل الـ U to Fc1
هيكون عمودي على Fc1، يعني بينه وبين Fc1 تسعين درجة
تسعين درجة، يعني موجب أو سالب، لو كان Fc1 بالعكس
يعني يكون Fc للداخل، هيكون لتحت، يعني
أو خلينا نحكي نفسه، جهة Fc1، بس جهة هاي الـ Fc
واحد، Fc1 جه على الشمال، هيكون عنده هذا الـ
moment، Fc هيكون بالعكس، إذا كنت على الشمال الـ
reference، لنفس الـ force، بيكون الـ couple معاكس في
اتجاه نفس الـ force، على يمين الـ reference plane، فلو
رسمنا الـ vectors Fc1، و Fc2، و Fc3، و Fcm، لأن خلينا
نشوف، كل الـ vectors، هيطلع معانا
أنا عندي هذه، بدأت Fc1 أفقية، هذه Fc1 أفقية، هذه
Fc1، بعدين Fc2، بعدين عندي F
C3، F4، F4، F4، F4
F4، F4، F4، F4، F4
FCL، طيب عشان نرسم الـ .. الـ .. الـ .. الـ polygon بتاع
الـ couple، polygon بتاع الـ couple، إحنا
حكينا .. حكينا، هندور .. هندور، إحنا حكينا إن هاي الـ
Fc1، حكينا
الكابل بتاع الـ Fc1 هيكون عمودي، تسعين درجة بينه وبين
الـ Fc1، يعني هذه تسعين درجة، الـ Fc1 جاي جاي على
الشمال الـ reference point، معناته كل الـ couple
vectors due to other forces اللي على يمين الـ
reference plane، هلفها -90 درجة، يعني كل الـ
couples due to centrifugal forces على شمال الـ
reference plane، هلفها 90 درجة بعكس عقارب
الساعة، وكل الـ couple، الـ forces جاية على يمين الـ
reference plane، بلفها 90 درجة باتجاه عقارب
الساعة، يعني Fc1 جاية على شمال reference plane
بلفها 90 درجة، بيعطينا الـ couple 1، هذه
الـ couple 1، هذا Fc، هذا
c1
الـ Central force بتاعة 2، هذه 2، نذكرها
معناته
هلفها كأنها زي هيك، هذه
Fc2، لفت 90 درجة باتجاه عقارب الساعة، هذه C2
كانت كذا، هذه Fc3
لفت 90 درجة باتجاه عقارب الساعة، حصلت
C3، Fc4
هذه، هذه Fc4، لفت 90 درجة باتجاه عقارب الساعة، حصلت
C4، ماشي؟ لأن فهمنا كيف نجيب الـ couple vectors اللي
هنسويها، هاخد الـ couple vectors هذا
هو لفة 90 درجة بعكس عقارب الساعة، يعني كله هلفوا
هيك 90 درجة بعكس عقارب الساعة، أنا الـ C1 لما
لفّها كان هنا، بصير هذه C1، بعد اللف، هلفهم كلهم مع
بعض، هذه C1، لفت 90 درجة بعكس عقارب الساعة، و C2
لما لفت 90 درجة، هتصير زي هيك
C2، 90 درجة بعكس عقارب الساعة، و C3، 90 درجة عكس
عقارب الساعة، و C4
90 درجة بعكس عقارب الساعة، نذكر
هذه العملية، بعد ما لفينا الـ couples، حصل عندي هذه الـ
Fc1، عكس الـ Fc1، هذه الـ Fc1، الـ
Fc2، جاية هذه الـ Fc2، و هذه
الـ
Fc3، و هذه
الـ Fc4
هذه
الـ Fc4، الآن كل العملية هذه عشان أسهل الشغل
أنا معتبر .. معتبر كأنّه .. كأنّه الـ couples بتأثّر
في هذه الاتجاهات، لكن هي حقيقةً لا، هي اتجاهاتها
الحقيقية، بس أنا اللي سويته، لفّيته 90 درجة بعكس
عقارب الساعة، لفّيت كل الـ couples، أعطتني هذه النتيجة
ليش؟ إذا كنت، إذا كنت الـ centrifugal force جاية على
شمال الـ reference plane، بيكون الـ C1 بحطها عكس الـ
Fc1، إذا كنت على يمين الـ
reference plane، بحط الـ couple force بنفس اتجاه
centrifugal force، يعني إذا أنت كنت على شمال الـ
reference plane، بحط الـ couple معاكس الـ centrifugal
force، إذا كنت على يمين الـ reference plane، بحط
اتجاه الـ couple في نفس اتجاه الـ centrifugal force
هيك بيسهّل الشغل كتير طبعًا
الفكرة في الآخر، هحكي، صمّم عشان summation of forces بالمساواة
صفر، و summation of moments بالمساواة صفر، و
solve، طبعًا four equations، هيك ببساطة، نشوف
نحّل example
مسألة عملية
طيب عندي shaft يحمل الكتل a، و b، و c، و d، masses a
و b، و c، و d، a shaft carries four masses a, b, c, and
d of magnitude، يعني ما عطيني الـ mass، عندي هنا عندي a
عندي، هرّتبهم، a، x
b، c، y، d، a
shaft carries four masses a, b, c, and e of magnitude
a، كتلتها 200 كيلوغرام
b، 300 كيلوغرام، c
400، و d
200، respectively
and revolving at radii، تدور عند radii، أو راح
الـ a، 80
و الـ b، 70، و
الـ c، 60، و الـ d، 80، أنا بعبئ في جدول، in planes
measured from a، على مستويات، عن 300، 400،
700، يعني هي، يعني b تبعد 300، يعني a، و c
تبعد 400، و d تبعد 700، يعني 300، و
400، و 700، نرجع لها بعدين، هذه
the angles between the cranks measured
anticlockwise are a to b، الزوايا
الزاوية عندي أول شيء a،
اوجد الـ force للكل omega square يعني هضرب هذا بهذا
200 في 200 في 8 على 100 يعني 200 على 100 كم؟ 2 في 8
هو 16، هذا هتطلع على الجدول، هذه هسميها MX، MX
هذه هتكون point واحد M، هين هتكون واحد وعشرين، وهين
أربعة وعشرين، وهين هدي MY
point واحد M Y، وهين ستة عشر، طيب
عند
هنا، حضروا في الـ L، عند 16.1 هتكون minus واحد
point ستة، هين صفر، خلّيني
برضه أحولها لـ متر، هذه اتنين من عشرة، هذه
ثلاثة من عشرة
و هذه أربعة من عشرة، و
هذه ستة من عشرة، هكون
عندي واحد و عشرين في اتنين في point اتنين اتنين، و
أربعة point اتنين، هذا الـ couple عندي هنا
سبعة point two point
four
MY
تسعة
point ستة
هرسم الـ .. الـ .. هرسم الـ
central force polygon، هرسم
الـ central force polygon، عندي الـ FC1، هاي الـ FC1
فدي
FCA، ده اسمه FCA
بعدين FCB، وين FCB؟ تعمل خمسة وأربعين درجة، FCB
هذا الزوايا خمسة وأربعين درجة، بعدين
FCC تعمل مئة وخمسة عشر درجة
FCC بتعمل 115 درجة، بعدين
FCD تعمل
235 درجة، 180
وها دي FC، دي أضلاعها كلها متين
وخمسة وخمسين، أو متين وخمسة وثلاثين درجة، متين
وخمسة وثلاثين درجة
هذا الـ .. الـ central force diagram، بدي أعمل الـ
couple diagram، couple diagram، couple
diagram، هيكون نفسه، بس الـ forces اللي على شمال الـ
reference هتكون عكسها، يعني هأجي أعمل، عندي هنا
عندي
FC Ca عكس هذه، CB في نفس الاتجاه، جهة اليمين CB، وبيعمل
زاوية خمسة وأربعين، و
CC بيعمل
زاوية مئة وخمسة عشر، و CD
بعمل زاوية مئتين
وخمسة وثلاثين، مضلع عندي هنا في الـ couples، CX في
عندي اللي هي اللي
هي C، اللي هي CY، CY، مش عارف CY، أيه اتجاهها تكون CY
هكون مركبتين، CY X، هكون دي CY
CY capital، CY
capital، باتجاه الـ X، أنا مش عارف اتجاهها حاليا، و CY
Y، هذا هو الـ polygon، هذا هبدأ في الـ .. في أيه؟ اش؟
في الـ polygon بتاع .. في الـ polygon بتاع الـ .. الـ
.. الـ couples، هأحكي summation of couples، هيكون
الساوي zero، هأحكي
summation of c .. c capital x .. x capital zero
المعنى أنّه هيكون الساوي عندي
بالنسبة لـ a هتكون minus واحد وستة من عشرة cosine
θ a، يعني هتكون minus واحد وستة من عشرة ×
zero b
زائد أربعة point اتنين cosine
الخمسة والأربعين
زائد سبعة point اتنين cosine المئة والخمسة عشر، زائد
ده اسمه CYX، زائد CYX
من هذه المعادلة لاحظوا أن ده مجهول، غير محسوب، CYX
بحسب CYX، بحسبها
بعدين برجع أحكي summation إلى C باتجاه الـ Y
بساوي zero، هيكون
عندي هذه الزاوية تاعتها صفر، وأنتَ هتكون مركّب لها
صفر، زائد صفر زائد
أربعة point اتنين sine
الخمسة والأربعين، زائد سبعة point اتنين sine
المئة والخمسة عشر، زائد CY capital، و Y زائد
تسعة point ستة، في، إحنا نسينا شغلة، هين، هين
هذه زائد تسعة point ستة cosine
الـمئتين والخمسة والثلاثين، ومنها بنحسب C capital Y X
زائد تسعة point ستة sine المئتين
وخمسة وثلاثين درجة، ومنها بأحسب
الآن الـ CYX، الـ
CYX already معروف، بساطة الـ CYX
بتساوي point O for MY، point O for MY
ومنها بأحسب الـ MY، و
الـ CY capital Y اللي حسبناها من هنا بتساوي
لحظة، هنا فيش غلط، لأ
حسبت الـ CYX و CY Y، بحسب، بعدين بأجي كده CY capital
بساوي جذر تربيعي لـ CY
capital X تربيع زائد CY Y تربيع، بساوي
هيك حسبنا الـ CY Capital، الـ CY Capital بتساوي
point O for
MY Capital، ومنها بأحسب اللي هي الـ MY، هيك بأحسب
الـ MY
once، حسبة المجموع، بيجي على العمود هذا، بيجي أحكي
summation of forces باتجاه الـ X، لأن خلصنا الـ couple
بيجي أحكي summation of forces باتجاه
الـ X، بساوي zero، هتساوي صفر، كساوي صفر
زائد هذا، زائد هيكون، زائد، زائد FX capital، زائد
FX capital، زائد
الـ FB اللي هي واحد وعشرين cosine الخمسة والأربعين
cosine الخمسة والأربعين، زائد الأربعة والعشرين، أربعة
و عشرين cosine المئة والخمسة عشر
زائد، أنا برضه حسبت الـ point واحد MY، MY صارت معروفة
عن دي، الزاوية بتاعتها، دي زاوية بتاعة θ Y، θ Y
بدي أحكي θ Y هنا، خلينا نأخذ عند θ Y
بساوي Tan inverse لـ
CY Y على CYX، يعني صارت θ Y معروفة، θ Y صارت
معروفة عندي، زائد point واحد، زائد point واحد هنا
نكمل، point واحد MY معروف عندي، point واحد MY cosine
θ Y
زائد ستة عشر cosine
مئتين وخمسة وثلاثين درجة، ومنها بأحسب الـ FX، بعد
إنّي أحكي summation للـ FY بيساوي صفر، هذا هتكون عندي
صفر، هتساوي صفر، زائد FY زائد
واحد وعشرين sine الخمسة والأربعين، زائد أربعة وعشرين
sine المئة والخمسة عشر، زائد point واحد MY
sin θ Y زائد ستة عشر sin المئتين والخمسة والثلاثين درجة
ومنها بأحسب الـ FY، منها
بأحسب الـ FY
أنا بأحسب الـ FY، طيب
لسه ما حسبتش الـ M، الـ MX
معناته حاجة أحكي، أنا point واحد، point واحد، point
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point واحد
point واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point واحد
point واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point واحد
point واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point واحد
point واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point واحد
واحد، point واحد، point واحد، point واحد، point
واحد، point
بالطريقة هذه إحنا حسبنا قيمة الكتلة عند X والكتلة
عند Y، اللي بوزن الكتل A وB وC وD، بحيث أن كتلة X
بعيدة نصف كتر أبونت واحد، وكتلة Y جاية نصف كتر أبونت
واحد، بهذه الطريقة إحنا استطعنا توزين أربع كتل
باستخدام كتلتين، هيك يكون أنهينا الشطر، أعطيكم
العفو، السلام عليكم