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Überblick

- Heute beschäftigen wir uns (zunächst) mit der Bewertung von
  Anlagealternativen unter Risiko.

- Im weiteren Verlauf der heutigen Vorlesung werden wir dann die
  Kombination von verschieden Anlagealternativen zu Portfolios
  diskutieren.

Investitionsbewertung unter Unsicherheit

Investitionsbewertung unter Unsicherheit

Berücksichtigung von Unsicherheit

- Im Rahmen der Investitionsbewertung unter Unsicherheit ist es
  regelmäßig erforderlich, Risiken innerhalb der Barwertberechnung zu
  berücksichtigen.

- Dies gelingt über drei unterschiedliche Ansätze:

  - Wahl eines Diskontierungszinses, der das Risiko adäquat abbildet
    (z.B. LIBOR; EURIBOR; EONIA bei Finanzinvestitionen)

  - Risikozuschlag auf den risikolosen Kapitalmarkt- oder
    Wertpapierzinssatz

  - Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten anstatt unsicherer Cash
    Flows (bei unverändertem Kalkulationszins)

- Wichtig: Alle Ansätze betrachten keine sicheren Cash Flows mehr,
  sondern den Erwartungswert unsicherer Cash Flows.

Exkurs: Statistische Operatoren

- Der Erwartungswert und die höheren Momente einer
  Wahrscheinlichkeitsverteilung erlauben uns, die Verteilung auf einfach
  quantifizierbare und vergleichbare Kennzahlen herunterzubrechen.

- Betrachten wir als Motivation einmal eine Investition in Aktien.

  - Aufgrund der unsicheren Zukunftsentwicklungen ist das zukünftige
    Endvermögen eine Zufallsvariable.

  - Das Endvermögen hängt ab von

    - der gewählten Alternative (→ beeinflussbar) und

    - dem eingetretenem Zustand der Natur / Umweltzustand (→ nicht
      beeinflussbar).

- Wir treffen die folgenden Annahmen:

  - 2 Zeitpunkte: t = 0 und t = 1

  - Zustandsbezogene Betrachtungsweise:

    - Zustände müssen unabhängig von der gewählten Alternative definiert
      sein.

    - Zustände sind bekannt mit endlicher Anzahl.

    - diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

    - den Zuständen können subjektive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet
      werden.

  - Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen Entscheidungen unter Risiko
    und Entscheidungen unter Unsicherheit.

    - Entscheidungen unter Risiko: Subjektive Wahrscheinlichkeit
      vorhanden.

    - Entscheidungen unter Unsicherheit: Unbekannte Wahrscheinlichkeit.

- Daraus ergibt sich eine Ergebnismatrix in t = 1:

    ---------------------- -------- -------- --- --------
     Eintrittsw’keiten ∑1     w₁       w₂     ⋯   w_(n)
           Zustände           S₁       S₂     ⋯   S_(n)
       1-1 Alternativen                          
              a₁             E₁₁      E₁₂     ⋯   E_(1n)
              a₂             E₂₁      E₂₂     ⋯   E_(2n)
              ⋮               ⋮        ⋮      ⋱     ⋮
            a_(m)           E_(m1)   E_(m2)   ⋯   E_(mn)
    ---------------------- -------- -------- --- --------

- In einer alternativen Darstellung können wir die verschiedenen
  Ergebnisse auch über ein Baumdiagramm darstellen.

  (200,100) (100,80)(-1,-1)60 (100,80)(-1,-2)30 (100,80)(1,-2)30
  (100,80)(1,-1)60 (30,0)E₁₁ (60,0)E₁₂ (160,0)E_(1n) (135,20)… (100,0)
  …… (95,90)a₁

  width=0.85,center

  (320,120) (70,80)(-1,-1)60 (70,80)(0,-1)65 (70,80)(1,-1)60 (0,0)80
  (60,0)120 (130,0)160 (25,50)$\frac{1}{3}$ (60,50)$\frac{1}{3}$
  (105,50)$\frac{1}{3}$ (60,90)-100 (55,110)Aktie (220,110)Anleihe
  (250,80)(-1,-1)60 (250,80)(0,-1)65 (250,80)(1,-1)60 (180,0)120
  (240,0)120 (310,0)120 (205,50)$\frac{1}{3}$ (240,50)$\frac{1}{3}$
  (285,50)$\frac{1}{3}$ (240,90)-100

- Unser Ziel ist nun eine Auswahl zwischen
  Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

- Diese Auswahl basieren wir auf oben angesprochenen Kennzahlen der
  Verteilung, den sog. Momenten.

- Mögliche Kennzahlen in diesem Kontext sind:

  - Erwartungswert

  - Varianz/Standardabweichung

  - Kovarianz/Korrelationskoeffizient

- Schauen wir auf ein Beispiel.

- Die folgende Tabelle zeigt uns in t = 1 Aktienwerte in Euro.

         Zustand       S₁    S₂    S₃    S₄      
    ----------------- ----- ----- ----- ----- -- --
     Eintrittsw’keit   0,1   0,3   0,4   0,2     
         Aktie I       150   170   180   200     
        Aktie II       280   300   270   290     
        Aktie III      100   100   100   100     

- Die Preise / Kurse der Aktien in t = 0 betragen:

  - Aktie I: 125 €

  - Aktie II: 250 €

  - Aktie III: 90 €

- Dann ergibt sich der Erwartungswert:

  $$\begin{aligned}
  \mbox{E}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j E_{ij} \\[1ex]
  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150 + 0,3\cdot 170 + 0,4\cdot 180 + 0,2\cdot 200 = \underline{178 \text{ \euro}} \\[1ex]
  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{284 \text{ \euro}} \\[1ex]
  \mbox{E}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{100 \text{ \euro}}
  \end{aligned}$$

- Die Varianz:

  $$\begin{aligned}
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j \left( E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]\right)^2 \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot (150-178)^2 + 0,3\cdot (170-178)^2 \\
   & + & 0,4\cdot (180-178)^2 + 0,2\cdot (200-178)^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{164 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
  \end{aligned}$$

- Oder, alternativ:

  $$\begin{aligned}
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i] & = & \underbrace{\sum_{j=1}^n w_j E_{ij}^2}_{\mbox{E}[\tilde{E}_i^2]}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]^2 \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{var}}[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150^2 + 0,3\cdot 170^2 \\
   &+& 0,4\cdot 180^2 + 0,2\cdot 200^2 -178^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\
  . . . & & 
  \end{aligned}$$

- Die Standardabweichung:

  $$\begin{aligned}
  \sigma[\tilde{E}_i] & = & \sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde{E}_i]} \\[1ex]
  \sigma[\tilde{P}_1^{I}] & = & \sqrt{196} = \underline{14 \text{ \euro}} \\[1ex]
  \sigma[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{12,8062 \text{ \euro}} \\[1ex]
  \sigma[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}}
  \end{aligned}$$

- Die Kovarianz:
  $$\begin{aligned}
  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \sum_{j=1}^n w_j (E_{ij}-\mbox{E}[\tilde{E}_i]) (E_{kj}-\mbox{E}[\tilde{E}_k]) \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & 0,1 (150-178)\cdot (280-284)\\
   & + & 0,3 (170-178)\cdot (300-284) \\
   & + & 0,4 (180-178)\cdot (270-284) \\
   & + & 0,2 (200-178)\cdot (290-284) = \underline{-12 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
  \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
  \end{aligned}$$

- Und der Korrelationskoeffizient:

  $$\begin{aligned}
  \rho[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k]}{\sigma[\tilde{E}_i]\cdot \sigma[\tilde{E}_k]} \quad \left(\rho \in [-1;1]\right) \\[1ex]
  \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & \frac{-12 \text{\euro}^2}{14\text{\euro}\cdot 12,8062\text{\euro}} = \underline{-0,0669} \\[1ex]
  \rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0} \\[1ex]
  \rho[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0}
  \end{aligned}$$

Das Bernoulli-Prinzip

Wie entscheiden unter Risiko?

Wie soll ein bestimmtes (Anfangs-)Vermögen W₀ auf
Wertpapiere/Investitionsalternativen aufgeteilt werden?

  ------------- --------------------------------------------------------
  Sicherheit:   Investition in das WP, welches das höchste EV erzielt.
  Risiko:       Zunächst keine Entscheidung möglich.
  ------------- --------------------------------------------------------

[image]

- Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erzielen WP A und WP B eine
  bestimmte Rendite. Aber welches WP ist zu wählen?

- Auch möglich: Portfoliobildung (dazu gleich mehr).

[image]

- D. h. für unterschiedliche (x_(A), x_(B))-Kombinationen bekommt man
  unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Portfoliorendite
  (stochastisch).

Klassische Entscheidungsgrundsätze

 
Die Grundidee: Berechnen Sie die Momente der
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Präferenzwerte zu bestimmen.

1. Moment:

- Rendite  $\widehat{=}$ Erwartungswert μ

- Wählen Sie die Alternativen mit dem höchsten erwarteten Wert.

- Entscheidungsregel (formal): E[Ṽ_(i)] > E[Ṽ_(k)] ⇒ V_(i) ≻ V_(k)

Klassische Entscheidungsgrundsätze

 
Beispiel
Aktie: $\mbox{E}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80+120+160)=$ 120.
Staatsanleihe: E[Ṽ^(BA)]= 120.
Eine ausschließlich auf Erwartungswerten basierende Entscheidungsfindung
ist für risikoscheue oder risikofreudige Anleger nicht geeignet, da die
Unsicherheit von Aktien nicht berücksichtigt wird.
⇒ mindestens eine Kennzahl zur Risikomessung ist erforderlich.

Klassische Entscheidungsgrundsätze

 

2. Moment

- Risikomaß  $\stackrel{\wedge}{=}$ Standardabweichung σ oder Varianz σ²

- Definiert Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) den

  - Erwartungswert und variationsabhängiger Präferenzwert,

  - führt dies zu der folgenden (formalen) Entscheidungsregel:

  - Φ(E[Ṽ_(i)], var [Ṽ_(i)]) > Φ(E[Ṽ_(k)], var [Ṽ_(k)]) ⇒ V_(i) ≻ V_(k)

- Beachten Sie, dass neben der Standardabweichung oder Varianz mehrere
  andere Risikofaktoren möglich sind: Schiefe, Kurtosis, Value at Risk,
  erwarteter Ausfall, ...

Klassische Entscheidungsgrundsätze

 
Beispiel

Aktie: ̄
$\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80-120)^2+\frac{1}{3} (120-120)^2+\frac{1}{3} (160-120)^2$
$=\text{1.066,62\EUR{}}^2.$
σ[Ṽ^(A)]= 32.66

Staatsanleihe: var [Ṽ^(BA)] = 0 = σ[Ṽ^(BA)].

Das (μ, σ)-Prinzip

 
Das (μ, σ)-Prinzip setzt eine Entscheidungsfindung auf der Grundlage von
μ und σ voraus.

Beispiel: Präferenzfunktion des Investors:
$\Phi=\mu-\frac{1}{5}\sigma^2$
Aktie: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 1.066,67=-93,33$
Staatsanleihe: $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 0=120$
⇒ Wähle die Staatsanleihe!

→ Unter der Annahme, dass zwei Projekte den gleichen Erwartungswert
haben, entscheiden sich risikoscheue Investoren immer für das weniger
riskante Projekt.

Das Bernoulli-Prinzip

- Unter Anwendung des Bernoulli-Prinzips versuchen wir, den erwarteten
  Nutzen zu maximieren.
  $$\mbox{E}[U(\tilde{r_{PF}})]\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$$

- ⇒ Die Entscheidungsfindung unter Risiko wird gelöst durch:

  - Zustandsabhängige Ergebnisse V_(ij) jeder Alternative kombiniert mit
    einer Nutzenfunktion U(Ṽ) ergeben einen zustandsabhängigen
    Nutzenwert U(V_(ij)).

  - Bestimmen Sie die Erwartungswerte des Nutzens für jede Alternative
    i:
    $$\mbox{E}[U(\tilde V_i)] = \sum_{j=1}^n p_j \cdot U(V_{ij}).$$

  - Die Entscheidungsfindung berücksichtigt alle relevanten
    Erwartungswerte des Nutzens. Zwei Alternativen, i und k:
    E[U(Ṽ_(i))] > E[U(Ṽ_(k))] ⇒ V_(i) ≻ V_(k).
    Erwartungsnutzen-Maximierung

- Annahme: Axiome des rationalen Verhaltens: Das Bernoulli-Prinzip geht
  von rationalem Verhalten aus.
  Anmerkung: Unter dieser Annahme gibt es eine Nutzenfunktion U(Ṽ) für
  zwei zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilungen w₁ und w₂:
  $$\begin{aligned}
  w_1 > w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]>\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)]\\
  w_1 \sim w_2 & \Leftrightarrow \mbox{E}_{w_1}[U(\tilde V)]=\mbox{E}_{w_2}[U(\tilde V)]
  \end{aligned}$$
  Die Nutzenfunktion U(Ṽ) ist eindeutig (außer bei positiver linearer
  Transformation).

- Das Bernoulli-Prinzip berücksichtigt die Präferenzen der Anleger in
  Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

- Zielsetzung: Rangfolge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  (Projekte) auf der Grundlage ihres Erwartungswerts des Nutzens.

Anwendung des Bernoulli-Prinzips

Wir betrachten die Nutzenfunktion U(V) = 1000 ⋅ V − V² und berechnen den
erwarteten Nutzen der Investition in Aktien und Staatsanleihen. Wir
beginnen mit der Aktie:

   Zustand         1               2               3
  --------- --------------- --------------- ---------------
      p      $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$
      V           80              120             160
    U(V)        73.600          105.600         134.400

 

$\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3}\cdot 73.600+\frac{1}{3}\cdot 105.600+\frac{1}{3}\cdot 134.400=104.533,\bar{3}$

Beispiel fortgesetzt

 
Nun wenden wir uns den Staatsanleihen zu:

   Zustand         1               2               3
  --------- --------------- --------------- ---------------
      p      $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$   $\frac{1}{3}$
      V           120             120             120
    U(V)        105.600         105.600         105.600

 

$\mbox{E}[U(\tilde V)]=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 105.600 = 105.600$
 
Da die Staatsanleihen einen höheren erwarteten Nutzen bietet als die
Aktie, wird sich ein Anleger mit der entsprechenden Nutzenfunktion für
die Staatsanleihen entscheiden.

Wer wird Millionär?

Beispiel 1 (Wer wird Millionär?). Stellen Sie sich die folgende
Situation vor: Sie sind in der Show mit Günther Jauch und stehen vor der
Millionen-Euro-Frage. Sie haben bereits den 50 : 50-Joker eingesetzt, so
dass zwei Antworten möglich sind. Ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten
für die möglichen Antworten sind .6 für Antwort A und .4 für Antwort B.
Erinnern Sie sich, dass Sie mit der richtigen Antwort 1 Mio. € gewinnen,
während Sie mit der falschen Antwort nur 16.000€ gewinnen. Wenn Sie die
Frage nicht beantworten, gewinnen Sie 500.000€. Beantworten Sie die
Frage?

Wer wird Millionär?

Beispiel 2 (Erwartungsnutzentheorie).

- Sie maximieren einen einfachen exponentiellen Nutzen gemäß der
  Funktion $u(c) = -\frac{e^{-ac}}{a}$, wobei a Ihre konstante absolute
  Risikoaversion bezeichnet, a = .15.

- Berechnen Sie den Nutzen einer Nichtbeantwortung der Frage:
  $u(500) = -\frac{e^{-.15 \cdot 500}}{.15} = - 1.786$.

- Berechnen wir nun den Nutzen einer Antwort:
  $u = .4 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 16}}{.15}) + .6 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 1000}}{.15}) = -.242$.

- Bei dieser Nutzenfunktion und dem Grad der Risikoaversion sollten Sie
  also antworten!

Risikobereitschaft

Die Nutzenfunktion zeigt die Einstellung des Anlegers zum Risiko. Wir
unterscheiden zwischen drei Risikohaltungen:

- risikoavers,

- risikoneutral,

- risikofreudig.

Risikobereitschaft

 
Betrachten Sie eine risikofreie Anlage (z.B. Staatsanleihe) w₁ und eine
risikoreiche Anlage (z.B. Aktie) w₂ mit demselben Erwartungswert
$$\mbox{E}[\tilde V^{BA}]=120=\frac{1}{3}(80+120+160)=\mbox{E}[\tilde V^A].$$
Dann wird die Risikoeinstellung eines Anlegers wie folgt definiert:
Definition: Der Investor ist

- risikoavers, wenn w₁ ≻ w₂,

- risikoneutral, wenn w₁ ∼ w₂,

- risikofreudig, wenn w₁ ≺ w₂.

 

Risikobereitschaft

 
Risikoverhalten
Gegeben U(Y) und U^(′)(Y) > 0 (muss positiv sein! warum?).
Jede(r) Investor*In ist

- risikoavers, wenn U(Y) konkav ist [U^(″)(Y) < 0],

- risikoneutral, wenn U(Y) linear ist [U^(″)(Y) = 0],

- risikofreudig, wenn U(Y) konvex ist [U^(″)(Y) > 0].

Risikobereitschaft

[image]

Vergleichbarkeit von Bernoulli- und mu-sigma

Bernoulli- und (μ, σ)-Prinzip

Frage: In welchen Fällen führen das Bernoulli-Prinzip und das
(μ, σ)-Prinzip zur gleichen Entscheidung?
Für alle Zufallsverteilungen vollständig erklärt durch μ und σ:

- Normal verteilte Ergebnisse

- Exponentielle Nutzenfunktion U(V) = −e^(−aV)(a > 0)

  - Die zugehörige Präferenzfunktion ist
    $\Phi=\mu-\frac{a}{2}\cdot \sigma^2$

Beispiel: quadratische Nutzenfunktion
U(V) = aV + bV²(a > 0, b < 0)
→ parabolische Nutzenfunktion; mit b < 0:
Nutzenfunktion impliziert Risikoaversion.
→ Funktion ist realisierbar, solange der erwartete Wert steigt.
Andernfalls: Ein steigender Gewinn oder Wohlstand würde zu einem
sinkenden Nutzen führen.
Daraus folgt:
$\frac{\delta U(V)}{\delta V} = a + 2bV > 0 \Leftrightarrow V < -\frac{a}{2b}$
Achtung: b < 0

Bernoulli-Prinzip:
$$\begin{aligned}
\mbox{E}[U(\tilde V)] & = & \mbox{E}[a\tilde V+b\tilde V^2]\\
& = & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot \mbox{E}[\tilde V^2]\\
& \stackrel{(*)}{=} & a\cdot \mbox{E}[\tilde V]+b\cdot (\mathop{\mathrm{var}}[\tilde V]+ \mbox{E}[\tilde V]^2)\\
& = & a\cdot\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)\\
\end{aligned}$$
(*) var [Ṽ] = E[Ṽ²] − E[Ṽ]²
Daraus folgt:
$\underbrace{\mbox{E}[U(\tilde V)]}_{\text{Bernoulli-Prinzip:}} = \underbrace{a\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)}_{(\mu,\sigma)-Prinzip}$

Risikozuschlag und Sicherheitsäquivalent

Risikozuschlag auf den Zinssatz

- Häufig angewendet (weil einfach) ist die Methode, den adäquaten
  risikolosen Diskontierungszins um einen subjektiven Risikozuschlag zu
  erhöhen.

- Dieser Risikozuschlag wird umso größer sein, je höher das Risiko des
  Investitionsprojekts eingeschätzt wird.

- Für eine Investition lässt sich der Risikozuschlag z auf den
  Kalkulationszinssatz allgemein wie folgt berücksichtigen:
  $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t}$$

Beispiel: Berücksichtigung eines Risikozuschlags auf den
Kalkulationszinssatz

- Für eine Investition mit einer Laufzeit von zwei Jahren seien folgende
  unsichere Cash Flows angenommen. Der Diskontierungszinssatz betrage
  10% und der Risikozuschlag betrage 2% (Aufschlag um 2 Prozentpunkte).

- Zunächst ist die Berechnung der erwarteten Cash Flows E[CF_(t)] aus
  der Investition unter Unsicherheit erforderlich:

     Umweltzustand        S₁       S₂       S₃     
  -------------------- -------- -------- --------- ---------------
   Wahrscheinlichkeit    0,2      0,5       0,3    
           t₁           +5 000   +7 000   +9 000   E[CF₁] = 7200
           t₂           +6 000   +7 500   +10 000  E[CF₂] = 7950

- Der Barwert dieser Investition beträgt:
  $$\begin{aligned}
      PV_0  &= \sum_{t=1}^T \frac{\mbox{E}[CF_t]}{(1+i+z)^t} =\frac{7.200\text{\euro}}{1,12} + \frac{7.950\text{\euro}}{1,12^2}\\
      &= \textcolor{uniblau}{12 766,26}
  \end{aligned}$$

- Merke: Ein positiver Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz führt
  c.p. immer zu einem sinkendem Barwert!

- Begründung?

  - Mathematisch: erwartete CF werden mit einem dann höheren (weil
    risikoadjustierten) Zinssatz diskontiert, was zu einem sinkenden
    Barwert führt.

  - ökonomisch: der Risikozuschlag erhöht die Mindestrendite, die die
    Investition mindestens erwirtschaften muss ⇒ Investition wird
    unattraktiver ⇒ Barwert sinkt.

Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten

- Alternativ können Risiken auch dadurch abgebildet werden, dass
  anstelle unsicherer Cash Flows sog. Sicherheitsäquivalente (certainty
  equivalents, CEs) diskontiert werden → Sicherheitsäquivalentmethode

  - Das Sicherheitsäquivalent einer zukünftigen, unsicheren Zahlung ist
    derjenige sichere Betrag, der dem Investor in Abhängigkeit seiner
    Risikoeinstellung den gleichen Nutzen liefert wie die unsichere
    Zahlung selbst.

- Je nach Risikoeinstellung des Investors kann aus der Differenz von
  Sicherheitsäquivalent und Erwartungswert der zukünftigen Zahlung eine
  Risikoprämie RP von größer null, kleiner null oder gleich null
  resultieren.

  - Risikoneutralität: Sicherheitsäquivalent = Erwartungswert der
    unsicheren Zahlung: ⇒ RP = 0

  - Risikoaversion: Sicherheitsäquivalent < Erwartungswert der
    unsicheren Zahlung: ⇒ RP > 0

  - Risikoaffinität: Sicherheitsäquivalent > Erwartungswert der
    unsicheren Zahlung: ⇒ RP < 0

- Es bestehen also folgende Zusammenhänge zwischen dem Erwartungswert
  der unsicheren Cash Flows E(CF_(t)), Sicherheitsäquivalent CE_(t) und
  der Risikoprämie RP_(t):

$$\begin{aligned}
    \mbox{E}(CF_t) &=& CE_t + RP_t\\
    CE_t &=&  \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\
    RP_t &=& \mbox{E}(CF_t) - CE_t
\end{aligned}$$

Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten

- Ist die Risikonutzenfunktion des Investors bekannt, kann das
  Sicherheitsäquivalent CE_(t) direkt aus dieser Risikonutzenfunktion
  bestimmt werden.

- Da der Nutzen des Sicherheitsäquivalents U(CE_(t)) genau so groß sein
  muss, wie der erwartete Nutzen der unsicheren erwarteten Cash Flows
  E[U(CF_(t))], gilt folgender Zusammenhang:

$$\begin{aligned}
    U(CE_t)  &\overset{!}{=} \mbox{E}[U(CF_t)]\\
    \Leftrightarrow CE_t &= U^{-1} (\mbox{E}[U(CF_t)])
\end{aligned}$$

- Das heißt, das Sicherheitsäquivalent lässt sich allgemein aus der
  Inversen der Risikonutzenfunktion des Investors ermitteln.

[image]

- Zur Erinnerung: Für das Sicherheitsäquivalent gilt:
  $$\textcolor{uniblau}{CE_t =  \mbox{E}(CF_t) - RP_t}$$

- Die allgemeine Barwertformel verändert sich dann mit Berücksichtigung
  von Sicherheitsäquivalenten wie folgt:
  $$PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\overbrace{\mbox{E}(CF_t) - RP_t}^{CE_t}}{(1+i)^t}$$

Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten

- Für eine Investition unter Unsicherheit stehen folgende Informationen
  zur Verfügung:

  - Risikoloser Kapitalmarktzins: 10%

  - Erwartete Cash Flows:

     Umweltzustand        S₁       S₂       S₃       S₄
  -------------------- -------- -------- -------- ---------
   Wahrscheinlichkeit    0,1      0,3      0,4       0,2
         Jahr 1         +4 000   +6 000   +8 000   +11 000
         Jahr 2         +3 000   +6 000   +9 000   +12 000

Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten

- Damit lassen sich für die gegebene Investition folgende
  Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen bestimmen:

              μ        σ²         σ
  -------- ------- ----------- -------
   Jahr 1   7 600   4 440 000   2 107
   Jahr 2   8 100   7 290 000   2 700

Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten

- Das Sicherheitsäquivalent bestimmt sich als Umkehrfunktion (Inverse)
  der Risikonutzenfunktion und soll hier im Beispiel wie folgt lauten:
  $$\begin{aligned}
  CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - RP_t\\
  &= \mbox{E}(CF_t) - \alpha \cdot \sigma (CF_t) \\
  &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t)
  \end{aligned}$$

- α gibt dabei den Grad der Risikoaversion des jeweiligen Entscheiders
  an.

- Nutzenfunktionen zu bestimmen ist in der Praxis eine große
  Herausforderung.

- Die ermittelten Werte werden nun verwendet, um den Barwert der
  unsicheren Investition zu berechnen.

- Dafür sind zunächst die Sicherheitsäquivalente beider Jahre zu
  berechnen:

$$\begin{aligned}
CE_t &= \mbox{E}(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t) \\
CE_1 &= 7 600 - 0,1 \cdot 2 107 = \textcolor{uniblau}{7 389,30}\\
CE_2 &= 8 100 - 0,1 \cdot 2 700 = \textcolor{uniblau}{7 830,00}
\end{aligned}$$

- Gemäß der Formel zur Berechnung des Barwertes gilt dann:

$$\begin{aligned}
PV_0 &= \sum_{t=1}^T \frac{\textcolor{uniblau}{CE_t}}{(1+i)^t} = \frac{7 389,30}{1,1} + \frac{7 830,00}{1,1^2}   \\
&= \textcolor{uniblau}{13 188,62}
\end{aligned}$$

Zusammenfassung und weitere Agenda

- Jetzt sind wir in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu
  bewerten.

- In der Realität wird ein Unternehmen jedoch selten nur in ein
  einzelnes Projekt investieren wollen.

- In gleichem Maße sollte ein Investor nicht nur in eine einzige
  Anlagemöglichkeit investieren (warum? → dazu gleich mehr).

- Daher betrachten wir im weiteren Verlauf die Investition in mehrere
  Projekte.

- Wir werden dies am Beispiel eines Investors diskutieren; die
  Überlegungen sind aber ohne Weiteres auf Unternehmen zu übertragen.

Portfolios und Diversifikation

Portfolios und Diversifikation

Entscheidungssituation unter Risiko

- Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschließender
  Investitionsprojekte bzw. -programme.

- Jetzt: Investitionsprojekte schließen sich nicht mehr gegenseitig aus.

- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei Risiko erfordert die
  Berücksichtigung der stochastischen Zusammenhänge mit der Gesamtheit
  aller übrigen Projekte, die durchgeführt werden.

- Modell notwendig, in dem das Gesamtprogramm (=Portfolio) unter
  simultaner Berücksichtigung aller in Frage kommender Projekte
  optimiert wird.

Although more than half a century has passed since Markowitz’s (1952)
seminal paper, the mean-variance (MV) framework is still the major model
used in practice today in asset allocation and active portfolio
management despite many other models developed by academics.

Anlageproblematik Der Aufbau, die Verwaltung und die Sicherung von
Vermögen ist ein zentraler Prozess, mit dem jeder Anleger konfrontiert
ist.
Herausforderungen:

- Viele Anlagealternativen mit verschiedenen Rendite-/Risikoprofilen

- Ausgleich von Risiken

- Abstimmung auf die individuellen Präferenzen des Anlegers

Lösung: Portfoliomanagement

- Die wesentliche Aufgabe des Portfoliomanagements besteht darin, das
  Kapital im Hinblick auf die Nutzenpräferenz des Anlegers optimal zu
  allokieren.

Anlageuniversum

[image]

Magisches Dreieck

[image]

Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen

Rendite

Verhältnis zwischen einem Endwert und einem Anfangswert, ausgedrückt
über einen bestimmten Zeitraum.

- $r_t = \frac{ P_t }{ P_{t-1} } -1$ (diskret),

- $r_t = ln (\frac{ P_t }{ P_{t-1} }$) (stetig),

wobei P_(t) der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t ist.
Durschnittliche Rendite einer Einzelinvestition

$$\bar r = \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} r_t$$

Die Vorteile der stetigen Rendite

Zeitadditivität
Für diskrete Renditen ist die Rendite über einen langen Zeitraum nicht
die Summe der Renditen über die kurzen Zeiträume.
(1 + r₁)(1 + r₂)⋯(1 + r_(n)) = ∏_(i)(1 + r_(i))
Diese fehlende Zeitadditivität von diskreten Renditen ist für viele
Analysen ungeeignet; insb. ändert sich durch die Multiplikation die
Verteilung der Renditen. Aus diesem Grund werden häufig stetige Renditen
verwendet, da sie zeitadditiv sind. Bei stetigen Renditen ist die
Rendite über einen langen Zeitraum die Summe der Renditen über die
kurzen Zeiträume.
∑_(i)log (1 + r_(i)) = log (1 + r₁) + ⋯ + log (1 + r_(T)) = log (P_(T)) − log (P₀)

Normalverteilung der log-Renditen
Wenn wir annehmen, dass die Preise logarithmisch normalverteilt sind,
dann ist log(1 + r_(i)) praktischerweise auch normalverteilt.
Diskrete und kontinuierliche Renditen sind nahezu äquivalent
Wenn die Renditen sehr klein sind (was bei Geschäften mit kurzer
Haltedauer oft der Fall ist), liegen stetige Renditen im Wert nahe bei
diskreten Renditen.
log (1 + r) ≈ r, r ≪ 1

Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen

Risiko einer Einzelinvestion (hier: Volatilität)
Die Varianz σ² ist die quadratische Differenz zwischen den realisierten
Einzelrenditen und ihrem berechneten Mittelwert. Durch Ziehen der
Quadratwurzel erhält man die Standardabweichung σ:
$$\sigma = \sqrt{ \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} (r_t - \bar r)^2 }$$

Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Wurzel-T-Regel
Um eine entsprechende Vergleichbarkeit von Rendite und Risiko zu
erreichen, müssen beide Variablen annualisiert werden. Die annualisierte
Standardabweichung wird mit Hilfe des Annualisierungsfaktors
(Wurzel-T-Regel) bestimmt:
$$\sigma_{T_1} = \sigma_{T_2} \cdot \sqrt{ \frac{ {T_1} }{ {T_2} } }$$

Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen Erwartete Rendite und Varianz
Da eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit getroffen wird, ist
die Renditeberechnung ex-ante nicht möglich. Die tatsächliche Rendite
r_(T) und Volatilät σ kann nur ex post bestimmt werden.
Annahme: Zukünftige Renditen haben ähnliche Eigenschaften wie
historische Renditen:

- Gleichbleibender Mittelwert

- Gleichbleibende Varianz

Aufbauend darauf nutzt man häufig die durchschnittliche vergangene
Rendite als erwartete Rendite μ = E[r_(i)] = r̄ und die historische
Varianz σ² = var [r_(i)] als Maß für die erwartete Volatilität.

Rendite-Risiko-Diagramm Wie würden Sie sich entscheiden?

[image]

Portfolio Was ist ein Portfolio?

- Das Portfolio beschreibt ein Bündel von Investitionen, die ein Anleger
  besitzt.

- Für den Aufbau eines Portfolios werden in der Regel Zielsetzungen und
  -kriterien formuliert, die der Auswahl der einzelnen Vermögenswerte
  zugrunde gelegt werden.

- Durch die Zusammenstellung des Portfolios wird versucht, die für den
  Investor optimale Mischung zwischen Rendite, Risiko und Liquidität zu
  erreichen.

Portfolio

[image]

Rendite und Risiko eines Portfolios Gesamtrendite des Portfolios

Die Summe der Erwartungswerte der Renditen, gewichtet mit den Anteilen
x_(i) der i = 1, ... N Wertpapiere in einem Portfolio P ergibt die
Portfoliorendite:

- $\mbox{E}[r_P] = \sum \limits_{i=1}^{N} x_i \cdot \mbox{E}[r_i]$

Gesamtrisiko des Portfolios

Das Gesamtrisiko des Portfolios ist abhängig von

- den Risiken der einzelnen Wertpapiere σ_(i),

- ihren Portfolioanteilen x_(i) und

- den Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen.

Kovarianz und Korrelation Kovarianz
Die Kovarianz charakterisiert die (lineare) Beziehung zwischen den
Renditen zweier Wertpapiere und ergibt sich aus dem Produkt der
Differenzen zwischen zwei Wertpapieren i und j.

- σ_(ij) = E[(r_(i) − E[r_(i)])(r_(j) − E[r_(j)])]

Korrelation
Um die Beziehung vergleichbar zu machen, wird der
Korrelationskoeffizient durch Standardisierung der Kovarianz
hergeleitet. Dieser ist definiert als Quotient aus Kovarianz σ_(ij) und
dem Produkt der Standardabweichungen σ_(i)σ_(j).

- $\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}$

Kovarianz und Korrelation Interpretation

- Der Korrelationskoeffizient ist normiert und nimmt nur Werte zwischen
  −1 ≤ ρ_(ij) ≤ 1 an.

- Er dient als Richtungs- und Stärkeindikator für die zu
  prognostizierenden Renditen der abhängigen Wertpapiere.

  - Bei einem Wert von +1 (bzw. -1) besteht eine vollständig positive
    (bzw. negative) lineare Beziehung zwischen den betrachteten
    Variablen.

  - Ist ρ_(ij) gleich null, so besteht kein linearer Zusammenhang
    zwischen den betrachteten Variablen.

Risiko des Portfolios 2 Assets:

$$\sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$$

3 Assets:

σ_(p) =
$$\sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + w_3^2\sigma_3^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2+2w_1w_3\rho_{13}\sigma_1\sigma_3 +2w_2w_3\rho_{23}\sigma_2\sigma_3}$$

n Assets:

$$\sigma_p = \sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N}w_i^2\sigma_i^2+2\sum \limits_{i=0}^{N} \sum \limits_{j=i+1}^{N} w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}$$

Diversifikationseffekt

Gegeben sind N identische Wertpapiere mit

- μ_(i) = μ

- σ_(i) = σ

- ρ_(ij) = 0 für alle i ≠ j

Mögliche Alternativen:

1.  Investion in ein einzelnes Wertpapier

2.  Gleichmäßige Investion auf alle n Wertpapiere

    - Naive Diversifikation

Renditen der Alternativen:

1.  E[r_(P)] = 1 ⋅ μ₁ = μ

2.  $\mbox{E}[r_P] = \frac{1}{N}\cdot\mu_1 + \frac{1}{N} \cdot \mu_2 + ... + \frac{1}{N} \cdot \mu_N = \frac{1}{N}
    \sum \limits_{i=1}^{N}\mu_i = \mu$.

Diversifikationseffekt

Die Renditen der Einzelinvestition und des Portfolios sind identisch.
Standardabweichung der Alternativen:

1.  $\sigma_P = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2}= 1 \cdot \sigma_1 = \sigma$

2.  $\sigma_P = \sqrt{(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_1^2+ (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_2^2+...+(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_N^2}  =\sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N} (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_i^2} = \frac{\sigma}{N}$

Bei einer Investition in N Wertpapiere verringert sich die
Standardabweichung auf $\frac{\sigma}{N}$.
⇒ Durch die Investition in ein Portfolio kann die Volatilität reduziert
werden.

Diversifikationseffekt [image]

Diversifikation: Systematisches und unsystematisches Risiko

- Das Risiko eines einzelnen Wertpapiers kann in zwei Risiken unterteilt
  werden:

  - Unsystematisches (idiosynkratisches) Risiko (unternehmenspezifisch)

  - Systematisches Risiko (Marktrisiko)

- Durch ein breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, lässt sich
  das unsystematische Risiko auf ein Minimum reduzieren. Das Marktrisiko
  bleibt jedoch stets erhalten.

[image]

Einfluss des Korrelationsfaktors

Gegeben ist ein Portfolio aus 2 Wertpapieren mit den Portfoliogewichten
w und (1 - w) (w ∈[0;1]).
Rendite des Portfolios:

E[r_(P)] = wE[r₁] + (1 − w)E[r₂]

Standardabweichung des Portfolios:

$\sigma_P = \sqrt{w^2\sigma_1^2 + (1-w)^2\sigma_2^2 +2w(1-w)\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$

Anhand der Formel ist erkennbar, dass der Korrelationskoeffizient einen
direkten Einfluss auf die Standardabweichung σ_(P) ausübt.

Einfluss des Korrelationsfaktors

[image]

Einfluss des Korrelationsfaktors

1.  ρ_(ij) = +1

    - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gleichgerichtet

    - Gesamtrisiko des Portfolios entspricht der Summe der mit den
      jeweiligen Portfolioanteilen gewichteten Standardabweichungen der
      beiden Wertpapiere (Durchschnittsrisiko, keine Diversifikation)

2.  −1 ≤ ρ_(ij) ≤ +1

    - Wenn der Korrelationskoeffizient sich verringert, sinkt das
      Portfoliorisiko zunehmend unter das Durchschnittsrisiko.
      (Diversifikationseffekt tritt ein)

3.  ρ_(ij) = −1

    - Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gegenläufig

    - Gesamtrisiko des Portfolios kann auf 0 gesenkt werden (perfekte
      Diversifikation)

Korrelationskoeffizient

- Die Wirkung des Korrelationskoeffizienten ist erheblich für das
  Gesamtrisiko des Portfolios.

- Bei der Zusammenstellung eines diversifizierten Portfolios ist es
  erforderlich, sowohl die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse
  als auch die Korrelationen zwischen einzelnen Anlageklassen für das
  Portfolio als Ganzes zu berücksichtigen.

Korrelationen

Übersicht über die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse

Korrelationskoeffizient

Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse:

- In der Praxis bewegen sich die Renditen der einzelnen Anlageklassen,
  wie z.B. Aktien, sehr ähnlich.

- Noch ausgeprägter ist dieser Effekt innerhalb einzelner Industrien.

- Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Faktoren, die die Renditen
  bestimmen, wie Zinsniveau, Inflationsrate, wirtschaftliche Entwicklung
  und Währungseinflüsse alle Aktien ähnlichermaßen betreffen.

Korrelationen

Übersicht über die Korrelationen verschiedener Anlageklassen

Achtung: Korrelationen sind nicht konstant und ändern sich im Laufe der
Zeit.

Asset Allocation

- Erst durch die Beimischung anderer Anlageklassen wie Anleihen, Gold
  und Rohstoffen können die Vorteile niedriger Koeffizienten richtig
  genutzt werden.

- Diese Verteilung (Diversifikation) des Vermögens auf verschiedene
  Assetklassen wird als Asset Allocation (Vermögensallokation)
  bezeichnet.

- Schlüsselziel ist ein ausgewogenes Verhältnis von Risiko und Rendite
  im Gesamtportfolio.

- Die Allokation erfolgt ähnlich zum Aktienportfolio durch die
  individuelle Abstimmung des jeweiligen Vermögensanteils an die
  Risikotoleranz, die Ziele und den Zeitrahmen des Anlegers.

Markowitz Portfolio Theorie

Markowitz Portfolio Theorie

Markowitz Portfolio Theorie

- 1952 legte Markowitz mit seinem Beitrag Portfolio Selection den
  Grundstein für die moderne Portfoliotheorie.

- Markowitz war der Erste, der eine umfassende Methodik für die
  Portfolioanalyse und die Bestimmung effizienter Portfolios
  entwickelte.

- Sein Modell dient nach wie vor als Grundlage für die Erstellung von
  Asset Allocations.

- Die wichtigsten Grundsätze des Konzepts sind Diversifikation und
  Vermögensallokation.

Markowitz-Optimierung

- Das Ziel der Portfoliotheorie nach Markowitz ist es, ein Portfolio auf
  dem Kapitalmarkt so zu optimieren, dass es effizient ist.

- Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio
  dominiert wird, dass

  - ein geringeres Risiko bei gleichem erwarteten Ertragswert hat oder

  - einen höheren erwarteten Renditewert bei gleichem Risikoniveau.

- Die Menge aller effizienten Portfolios heißt Effizienzlinie.

- Die Entscheidungsparameter des Modells sind die erwarteten Renditen,
  die Volatilitäten und die Korrelationen.

Beispiel Risikoeffizienz

Neben der risikofreien Geldanlage gibt es nur zwei risikobehaftete
Wertpapiere.
Beispiel:

   WP_(i)    1          2    
  -------- ------ --- ------ ----------------------------------
   μ_(i)    0,07   <   0,12  (erwartete Rendite)
   σ_(i)    0,09   >   0,08  (Standardabweichung der Rendite)

 

- Kann nur in eines der beiden Wertpapiere investiert werden, ist
  Wertpapier 2 risikoeffizient, da μ₂ > μ₁ und σ₂ < σ₁ gilt.

- Können Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 gebildet werden, gibt
  es mehr als eine effiziente Lösung, abhängig vom
  Korrelationskoeffizienten zwischen den Wertpapieren.

Annahmen des Modells

- Ausgangspunkt für die Optimierung ist ein (a)
  Ein-Perioden-Investitionsmodell, das sich mit der Entscheidung
  risikoaverser Privatanleger befasst, die riskante Wertpapiere kaufen
  wollen.

- Annahmen über den Kapitalmarkt:

  - Vollkommener und effizienter Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten
    und Steuern.

    - Man kann zu einem fest vorgegebenen Zinssatz risikofrei beliebig
      Geld anlegen und aufnehmen.

  - (c) Wertpapiere sind beliebig teilbar.

  - (d) Alle Wertpapiere können gleichzeitig gekauft werden (d.h.,
    schließen sich nicht gegenseitig aus).

  - Leerverkäufe sind zulässig.

  - (e) Es ist bekannt, welche Zustände im Zeitpunkt 1 eintreten können
    und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten den Zuständen zuzuordnen
    sind.

  - (f) Wertpapierrenditen sind normalverteilt, d.h. nur Erwartungswert
    und Volatilität sind von Interesse.

    - Dazu später mehr.

- Annahmen über den Investor:

  - Ziel der Investoren ist Vermögensvermehrung.

  - (g) Die Investoren sind rational und risikoavers.

  - Investoren sind Preisnehmer.

Das Optimierungsproblem

Annahme: Die Anleger interessieren sich nur für die Rendite μ und die
Varianz σ² (siehe Annahme oben) und wollen μ auf ein Zielrisiko σ²
maximieren.

Ferner sei gegeben:
$$\begin{aligned}
w &=& (w_1,...,w_N) \\
\mu &=& (\mu_1,...,\mu_N) \\
\Sigma &=& \begin{pmatrix} \sigma_{11} &... & \sigma_{1N} \\ ... & ... &... \\ \sigma_{N1} &...& \sigma_{NN} \end{pmatrix}
\end{aligned}$$

wobei w das Gewicht des risikobehafteten Vermögenswerts, μ die erwartete
Rendite und Σ die NxN-Kovarianzmatrix der Vermögenswerte ist.

Gesucht ist die Lösung des Optimierungsproblems
max μ^(T)w
unter der Nebenbedingung
w^(T)Σw = c.

Dies wird zu
max μ^(T)w − λ ⋅ w^(T)Σw,
wobei ^(T) für die Transponierte der Matrix steht, λ einen
Lagrange-Multiplier und c eine Konstante bezeichnet.

Effizienzlinie: Zwei-Asset-Fall

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Effizienzlinie: Multi-Asset-Fall

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- Ein effizientes Portfolio bietet geringeres Risiko und besseren Ertrag
  als das beste einzelne Wertpapier, wenn die Wertpapiere untereinander
  keine sehr hohe Korrelation aufweisen.

- ⇒ Daher wird der Anleger ein effizientes Portfolio einem einzelnen
  Wertpapier vorziehen.

Bestimmung des optimalen Portfolios

In welches Portfolio investieren?

- Effiziente Portfolios wurden durch Dominanzüberlegungen bestimmt.
  Diese Dominanzüberlegungen gelten unabhängig von der Risikoeinstellung
  eines Investors!

- Bei der Suche nach dem optimalen Portfolio können also die
  ineffizienten Portfolios ausgeschlossen werden, ohne genaueres über
  die Risikoeinstellung eines Investors wissen zu müssen.

- Zur Bestimmung des optimalen Portfolios für den einzelnen Anleger aus
  der Menge der effizienten Portfolios werden die individuellen
  Präferenzen des Anlegers benötigt.
  ⇒ Indifferenzkurven

- Im optimalen Portfolio entspricht die Steigung der Indifferenzkurve
  des Anlegers der Steigung der Effizienzlinie (Tangentialpunkt).

- Optimales Portfolio: Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und
  Effizienzlinie.

- Grafisch: Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller (μ, σ)-
  Kombinationen, die ein vorgegebenes Erwartungsnutzenniveau ergeben.

- In der Theorie gerne genutzte Beispiele für eine Präferenzfunktion der
  Anleger wird gerne genutzt:
  Φ(μ, σ) = μ − α σ,
  wobei α (≥ 0) die Risikoaversion darstellt.

Multi-Asset-Fall: Indifferenzkurven

[image]

Die Effizienzlinie und Indifferenzkurven

- Jeder Anleger wählt das Portfolio, in dem seine individuelle
  Indifferenzkurve die Effizienzlinie tangiert.

- Die Anleger halten aufgrund ihrer unterschiedlichen Risikopräferenzen
  jeweils verschiedene effiziente Portfolios.

Tobin-Separation

- Tobin erweiterte 1958 das Markowitz-Modell durch sein
  Separationstheorem, indem er einen risikofreien Zinssatz (z.B.
  Staatsanleihen, Spareinlagen) mit dem Zins r_(f) einführte.

- Demnach gibt es nur ein universales Idealportfolio für alle, das sog.
  Tangentialportfolio. Die persönliche Risikotoleranz ist für die
  Bestimmung dieses Tangentialportfolios irrelevant.

- Je nach persönlicher Risikobereitschaft investiert der Anleger
  entweder mehr in das Tangentialportfolio mit risikoreichen Anlagen
  oder mehr in die sicheren Anlagen.

[image]

Tobin-Separation Somit ergibt sich:

- Erwartete Rendite: E[r_(P)] = w_(f)r_(f) + (1 − w_(f))E[r_(i)]

- Volatilität: σ_(P) = (1 − w_(f))σ_(i)

- Der risikolose Zinssatz eröffnet dem Anleger zusätzliche
  Möglichkeiten. Durch die Aufnahme zusätzlichen Kapitals kann er
  Renditen erzielen, die vorher nicht möglich gewesen wären.

- Das Risiko hängt ausschließlich davon ab, wie hoch der Anteil des
  Tangentialportfolios ist, den der Anleger hält.

Bestimmung risikoeffizienter Portfolios

Bestimmung risikoeffizienter Portfolios

- Ein Kapitalanleger möchte einen bestimmten Geldbetrag für eine Periode
  in Wertpapiere/Investitionsprojekte (risikolos und risikobehaftet)
  anlegen. Ergebnisgröße: Endvermögen $\widetilde{EV}$ oder
  Portfoliorendite r̃_(PF), da $\widetilde{EV}$ = AV(1 + r̃_(PF))).

- Wie gehen wir dabei vor?

  - bei Sicherheit: Investiere in das Wertpapier, das die höchste
    Rendite abwirft.

  - bei Unsicherheit: Risiko muss berücksichtigt werden. → Abwägen
    zwischen Ertrag und Risiko mit dem Ziel einer geeigneten
    Risikomischung.

- Portfoliorendite: r̃_(PF) = x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k

- Oder Endvermögen:
  $\widetilde {EV} = x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s \cdot (1+k)$

- Erwartungswert und Varianz bestimmen!

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- Risikoeffiziente Portfolios liegen auf markiertem Bereich.

- ρ = Korrelationskoeffizient als Maß für den Zusammenhang zwischen den
  Wertpapieren.

[image]

x₁, x₂, x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am Gesamtportfolio.

→ neue Effizienzlinie (Tangente) wird durch zwei Punkte beschrieben.

- (μ, σ)-Kombination der risikolosen Geldanlage (x_(s) = 1).

- Tangentialpunkt an die alte Effizienzlinie (x_(s) = 0; x_(T) = 1).

- Das Verhältnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander ist in den
  PFs auf der Effizienzlinie immer gleich.

Bestimmung risikoeffizienter Portfolios

2 Ansätze:

1.  endvermögensorientierter Ansatz

2.  renditeorientierter Ansatz

Endvermögensorientierter Ansatz:

  ----- -------------- -------------------------------------------------------- --
  Sei          P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,                   
               P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,                   
               P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,    
               P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,    
                    k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode,   
                   W₀: Anfangsvermögen,                                         
          x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0         
                       gekauft wird,                                            
                x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird.       
  ----- -------------- -------------------------------------------------------- --

Endvermögensorientierter Ansatz:

Es gilt:

  -------- ---------------------------------------------- -- --
  t = 0:   x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀      
  -------- ---------------------------------------------- -- --

  -------- ------------------ --- ---------------------------------------------------------------
  t = 1:   $\widetilde{EV}$   =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k)
                              =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B)
                                  +(W₀ − x_(A) ⋅ P₀^(A) − x_(B) ⋅ P₀^(B))(1 + k)
                              =   x_(A)(P̃₁^(A) − P₀^(A)(1 + k)) + x_(B)(P̃₁^(B) − P₀^(B)(1 + k))
                                  +W₀(1 + k)
  -------- ------------------ --- ---------------------------------------------------------------

  ⇔   $\widetilde{EV}$   = $x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0(1+k)$   
  --- ------------------ ------------------------------------------------------------------------ --

 

  -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- --
        mit $\widetilde{RP}_i \mathrel{\widehat{=}}$ Risikoprämie von Wertpapier i (i = A,B)   
  -- -- -------------------------------------------------------------------------------------- --

Endvermögensorientierter Ansatz:

 
Risikoeffiziente Portfolios

  ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------
  var $\widetilde{EV}$$\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$                      E$\widetilde{EV}$$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$
                                                                    ODER        
  u. d. NB.                                                                     u. d. NB.
  E$\widetilde{EV}$= c = const.                                                 var $\widetilde{EV}$= c = const.
  ---------------------------------------------------------- ------------------ ------------------------------------------------------

Endvermögensorientierter Ansatz:

 
Lösung: Lagrange-Ansatz
Berechnung von $\mbox{E}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$ und
$\mathop{\mathrm{var}}\lbrack \widetilde{EV}\rbrack$:
$$\begin{aligned}
\mbox{E}[\widetilde{EV}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
& = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{RP}_B] + W_0 \cdot (1+k)$} \\[14pt]
\mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{EV}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
& = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B ] \\[7pt]
& = & x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] \\[7pt]
& \stackrel{(*)}{=} & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]$}
\end{aligned}$$

Endvermögensorientierter Ansatz:

 
Es gilt (*):
$$\begin{aligned}
\mathop{\mathrm{var}}[\widetilde{RP}_A] & = & \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A - P_0^A \cdot(1+k)] = \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \\[7pt]
\mathop{\mathrm{cov}}[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] & = & \text{Cov}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B] 
\end{aligned}$$

Falls Cov nicht angegeben, aber ρ
$$\begin{aligned}
\rho_{A,B} & = & \frac{\mathop{\mathrm{cov}}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]}{\sqrt{\mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^A] \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde P_1^B]}}
\end{aligned}$$

Renditeorientierter Ansatz:

 

  ----- ---------------------- ----------------------------------------
  Sei            r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite Wertpapier A/B
                       r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite
          x_(A), x_(B), x_(s): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am
                               GesamtPortfolio
                            k: risikoloser Zinssatz
  ----- ---------------------- ----------------------------------------

Renditeorientierter Ansatz:

 
Es gilt:

  -------- --------------------------- -- --
  t = 0:   x_(A) + x_(B) + x_(s) = 1      
  -------- --------------------------- -- --

  -------- -------- --- -------------------------------------------------------------------
  t = 1:   r̃_(PF)   =   x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + x_(s) ⋅ k
                    =   x_(A) ⋅ r̃_(A) + x_(B) ⋅ r̃_(B) + (1 − x_(A) − x_(B)) ⋅ k
                    =   x_(A) ⋅ (r̃_(A) − k) + x_(B) ⋅ (r̃_(B) − k) + k
                    =   $x_A \cdot (\widetilde{rp}_A) + x_B \cdot (\widetilde{rp}_B) + k$
  -------- -------- --- -------------------------------------------------------------------

 
mit $\widetilde{rp}_i \stackrel{\widehat{}}{=}$ Risikoprämie von
Wertpapier i [in % (i = A, B)]

Renditeorientierter Ansatz:

 
Risikoeffiziente Portfolios

  ------------------------------------------------ ------------------ --------------------------------------------
  var r̃_(PF)$\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$                      Er̃_(PF)$\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$
                                                          ODER        
  u. d. NB.                                                           u. d. NB.
  Er̃_(PF)= c = const.                                                 var r̃_(PF)= c = const.
  ------------------------------------------------ ------------------ --------------------------------------------

Renditeorientierter Ansatz:

 
Berechnung von E[r̃_(PF)] und var [r̃_(PF)]:
$$\begin{aligned}
\mbox{E}[\tilde r_{PF}] & = & \mbox{E}[x_A \cdot \widetilde{rp}_{A} + x_B \cdot \widetilde{rp}_{B} + k] \\[7pt]
 & = & \fbox{$x_A \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_A] + x_B \cdot \mbox{E}[\widetilde{rp}_B] + k$} \\[14pt]
\mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_{PF}] & = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B + k] \\[7pt]
& = & \mathop{\mathrm{var}}[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B ] \\[7pt]
& = & \ldots \\[7pt]
%& & = x_A^2 \cdot Var[\tilde RP_A] + x_B^2 \cdot Var[\tilde RP_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B Cov[\tilde RP_A; \tilde RP_B] 
& = & \fbox{$x_A^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_A] + x_B^2 \cdot \mathop{\mathrm{var}}[\tilde r_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \mathop{\mathrm{cov}}[\tilde r_A; \tilde r_B]$}
\end{aligned}$$

Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz

 

  ----- -------------- ------------------------------------------------------- --
  Sei          P₀^(A): Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,                  
               P₀^(B): Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,                  
               P̃₁^(A): stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,   
               P̃₁^(B): stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,   
                    k: risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode   
                   W₀: Anfangsvermögen,                                        
          x_(A)/x_(B): Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0        
                       gekauft wird,                                           
                x_(s): Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird,      
  ----- -------------- ------------------------------------------------------- --

Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz

 

  -- --------------- --------------------------------------------------- --
       r̃_(A), r̃_(B): stochastische Rendite von Wertpapier A/B,           
             r̃_(PF): stochastische Portfoliorendite,                     
          x^(′)_(i): wertmäßiger Anteil von Wertpapier i (i = A, B, s)   
                     am GesamtPortfolio.                                 
  -- --------------- --------------------------------------------------- --

Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz

 

  -------- ----------------------------------------------
  t = 0:   x_(A) ⋅ P₀^(A) + x_(B) ⋅ P₀^(B) + x_(s) = W₀
  -------- ----------------------------------------------

t = 1:

  --- --------------------------------------------------------------------- --- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                $\widetilde{EV}$                            =   x_(A) ⋅ P̃₁^(A) + x_(B) ⋅ P̃₁^(B) + x_(s)(1 + k)
  ⇒                  $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$                 =   $\frac{x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)-(x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B+x_{s})}{W_{0}}$
  ⇒                  $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$                 =   $\frac{x_A (\tilde P_1^A - P_0^A)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^A}{P_0^A} + \frac{x_B(\tilde P_1^B - P_0^B)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^B}{P_0^B} +\frac{x_s}{W_{0}}\cdot k$
  ⇒    $\underbrace{\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}}_{\tilde r_{EV}}$  =   $\underbrace{\frac{x_A  P_0^A}{W_{0}}}_{x'_{A}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^A - P_0^A)}{P_0^A}}_{\tilde r_{A}} + \underbrace{\frac{x_B  P_0^B}{W_{0}}}_{x'_{B}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^B - P_0^B)}{P_0^B}}_{\tilde r_{B}}+\underbrace{\frac{x_s}{W_{0}}}_{x'_{s}} k$
                                                                                
  ⇔                                  r̃_(EV)                                 =   x^(′)_(A) ⋅ r̃_(A) + x^(′)_(B) ⋅ r̃_(B) + x^(′)_(s) ⋅ k
  --- --------------------------------------------------------------------- --- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz

 
Es gilt:
$$\begin{aligned}
\frac{x_A \cdot P_0^A}{W_0} + \frac{x_B \cdot P_0^B}{W_0} + \frac{x_s}{W_0} = 1 & \Leftrightarrow & x_A^{'} + x_B^{'} + x_s^{'} = 1
\end{aligned}$$

Performancemaßstab

- Mit der Messung der relativen Performance soll die Frage beantwortet
  werden, ob das gewählte Portfolio die festgelegte Benchmark über einen
  bestimmten Zeitraum risikoadjustiert übertroffen hat.

- Die Sharpe-Ratio berechnet die erzielte Überschussrendite des
  Portfolios im Verhältnis zum Gesamtrisiko des Portfolios:
  $$SR_P = \frac{\mbox{E}[r_P]- r_f}{\sigma_P}$$

- Die Ratio entspricht der erzielten Überrendite pro angenommener
  Volatilitätseinheit. Ziel ist es, einen möglichst hohen SR-Wert zu
  erreichen.

Grenzen und Kritik des Modells

- Kritik an den Grundannahmen des Modells.

  - ⇒ s. bspw. Normalverteilungsannahme

  - Rationalität des Investors ist fraglich ⇒ s. Behavorial Finance

  - In der Praxis müssen die Transaktionskosten und die Effizienz des
    Optimierungsverfahrens berücksichtigt werden.

- Bestimmung der erwarteten Renditen und Volatilitäten ausschließlich
  anhand historischer Daten.

  - Schätzfehler oder Strukturbrüche

- Dynamische Korrelationen von Anlageklassen in Krisensituation etc.

- Die Anlegerpräferenzen lassen sich nur schwer in Zahlen ausdrücken.

- Optimierte Portfolios weisen oft extreme Allokationen auf, z.B. einen
  hohen Anteil an Leerverkäufen. In der Praxis ist das eher nicht
  machbar oder sinnvoll.

- Die Portfoliogewichte reagieren empfindlich auf Änderungen der
  Modellparameter.

- Optimale Lösungen übergewichten Vermögenswerte mit höheren
  Renditeerwartungen.

Normalverteilung vs. empirische Verteilung

[image]

Empirische Verteilung Renditen des MSCI World Index und der
Normalverteilung

Stylisierte Fakten zu Finanzzeitreihen

- Wie die vorstehende Abbildung zeigt, weisen (viele) Finanzzeitreihen
  nicht-normalverteilte Merkmale auf.

- Diese Merkmale betreffen die univariaten Verteilungen mit übermäßiger
  Kurtosis (fat tails) und Schiefe,

- Aber auch die multivariaten Verteilungen mit nichtlinearen
  Abhängigkeitsstrukturen.

- So sind beispielsweise gemeinsame Börsencrashs weitaus häufiger als
  gemeinsame Aufschwünge.

Naive 1/N-Allokation

- Naive Diversifikation ist die unkomplizierte Aufteilung eines
  Portfolios auf N Vermögenswerte.

- Neuere Studien zur Vermögensallokation wie und kommen zu dem Schluss,
  dass die einfache Allokationsregel 1/N gute Resultate liefert.

- Im Vergleich zu anderen, komplizierteren Asset-Allocation-Strategien,
  einschließlich des Markowitz-Portfolios, schneidet es bei der
  Sharpe-Ratio gut ab.

- Fazit: Diversifikation ist unabdingbar, aber der Nutzen
  fortgeschrittener mathematischer Modelle ist unklar.

Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung und Ausblick

- Heute haben wir uns mit der Bewertung von Anlagealternativen unter
  Risiko beschäftigt.

- Wir sind jetzt in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu
  bewerten.

- Ebenfalls haben wir die Kombination von verschieden Anlagealternativen
  zu Portfolios diskutiert.

- Bisher haben wir bei der Berechnung des Barwertes jedoch die Cash
  Flows aller Perioden mit einem konstanten Abzinsungsfaktor berechnet.

- In der Realität unterscheiden sich aber häufig kurzfristige und
  langfristige Zinssätze.

- Der Zusammenhang zwischen kurzfristigen und langfristigen Zinssätzen
  wird mittels der Theorie der Zinsstruktur beschrieben.

- In der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns aber erst mit
  Kapitalmarktmodellen, genauer mit dem CAPM.

Literatur

Literatur