Überblick - Heute, in unserer letzten Vorlesung, beschäftigen wir uns mit veränderlichen Zinssätzen und der Theorie der Zinsstruktur. Theorie der Zinsstruktur Theorie der Zinsstruktur Theorie der Zinsstruktur - Bisher sind wir stets von einem einheitlichen Zins r ausgegangen, der insb. unabhängig von dem Anlagehorizont bzw. bei Festzinstiteln unabhängig von der Laufzeit des Zinstitels ist. - Empirische Analysen zeigen jedoch, dass die Rendite eine Funktion der Restlaufzeit ist und sich diese Funktion im Zeitablauf ändert. - Zur Quantifizierung dieses Sachverhalts führen wir im Folgenden die Konzepte der Renditestrukturkurve sowie der Zinsstrukturkurve ein. - Die folgende Abbildung zeigt die Zinsstruktur in zwei unterschiedlichen Zeitpunkten. [image] Wir unterscheiden die folgenden Zinssätze: - Spot Rate - der aktuelle Zinssatz heute (t = 0). - Forward Rate - der Zinssatz, der heute festgelegt wird, zu einem festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft. - Future Rate - die erwartete zukünftige Spot Rate. - Yield to Maturity - der interne Zinsfuß einer verzinslichen Anlage. Definition: Die internen Renditen der Einheitszerobonds werden als Spot Rates (Kassazinssätze) bezeichnet. Ist b(0, t) der Preis des Einheitszerobonds mit Laufzeit t, so gilt die interne Zinsfuß-Gleichung: b(0, t) = 1 ⋅ (1 + r)^(−t). D. h. die Preise b(0, t), t > 0, der Einheitszerobonds sind äquivalent zu den Diskontierungsfaktoren. [image] Definition: Die Forward Rate (Terminzinssatz) ist der Zinssatz, der heute (Zeitpunkt 0) vereinbart wird für eine Mittelanlage zum Zeitpunkt s über t − s Perioden. Formel der impliziten Forward Rate: $$\begin{aligned} r_{s,t} = \sqrt[t-s]{\frac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,s})^s}}-1 \end{aligned}$$ [image] Definition: Renditestrukturkurve Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) beschreibt die funktionale Abhängigkeit der Rendite (interner Zinsfuß) von Kuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit. Renditestrukturkurven Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) erfasst die funktionale Abhängigkeit der Rendite (auf Basis des internen Zinsfußes) von Festzinstiteln (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit. Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Renditestrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Renditegrößen {y₁(s), ..., y_(n)(s)} und im allg. Fall durch die Menge der Renditegröße {y_(T)(s); T > 0}, wobei y_(T)(s) die Rendite eines Bonds zum Zeitpunkt s bei einer Restlaufzeit von T Perioden bezeichne. Alternativ wird auch die Notation y(s, s + T) verwendet. - In der Praxis betrachtet man die durchschnittliche empirische Rendite von Anleihen (gleicher Gattung und Bonität) gleicher Restlaufzeit. - Anschließend verwendet man ein Glättungsverfahren zur Anpassung einer bestimmten funktionalen Struktur an die empirischen Renditen. - Sind die internen Renditen für alle Restlaufzeiten identisch, so spricht man von einer flachen Renditestruktur. - Nehmen die Renditen mit zunehmender Restlaufzeit zu, liegt eine steigende (normale) Renditestruktur vor. - Nehmen die Renditen mit zunehmender Laufzeit ab, spricht man von einer fallenden (inversen) Renditestruktur. Renditestrukturkurven [image] Zinsstrukturkurven Definition: Zinsstrukturkurve Die Zinsstrukturkurve beschreibt die funktionale Abhängigkeit der Renditen (interne Renditen) von Nullkuponanleihen (gleicher Gattung und Bonität) von ihrer Restlaufzeit. - Die Zinsstrukturkurve (Term Structure of Interest Rates) erfasst ebenfalls die funktionale Abhängigkeit der Rendite von ihrer Restlaufzeit. Hierbei werden jedoch nur Nullkuponanleihen zugrunde gelegt. - Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1, …, n ist die Zinsstrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Größen {r₁(s), ..., r_(n)(s)} und im allg. Fall durch die Menge der Größen {r_(T)(s); T > 0} wobei r_(T)(s) den internen Zinsfuß (auch: Kassazinssatz, Spot Rate) zum Zeitpunkt s einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T bezeichnet. Alternativ wird auch die Notation r(s, s + T) verwendet. Diskontstrukturkurve Die Diskontstrukturkurve ist allg. spezifiziert durch die Größen {b_(T)(s); T > 0} Sie ist äquivalent zur Zinsstrukturkurve und gibt die Kurse von Einheitszerobonds mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt s an. Alternativ zur Notation b_(T)(s) wird auch die Notation b(s, s + T) verwendet. Der Zusammenhang zwischen Zins- und Diskontstrukturkurve ist bei diskreter Verzinsung gegeben durch $$r_T(s) = \sqrt[T]{ \frac {1}{b_T(s)} } - 1 \Leftrightarrow b_T(s) = \left[ 1 + r_T(s) \right] ^{-T}$$ - Vor dem Hintergrund der Problematik des internen Zinsfußes im Kontext der Wiederanlage von zwischenzeitlichen Zahlungen, ist nur die Zins- bzw. äquivalent die Diskontstruktur eine unverzerrte Konzeption zur Quantifizierung der Fristigkeitsabhängigkeit der Zinssätze, da hier die Wiederanlageproblematik entfällt. - Hieraus lassen sich weitergehende Überlegungen bspw. zur Bewertung von festverzinslichen Titeln oder zur Quantifizierung des Zinsänderungsrisikos anstellen. - Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebene Zinsstruktur {r_(T)(s)} beinhaltet neben den Kassazinssätzen auch Informationen über die impliziten Terminsätze (Implied Forward Rates). - Die Forward Rates f₁(s), …, f_(T)(s) geben dabei die Verzinsung für die zukünftigen sukzessiven Perioden [s, s + 1], [s + 1, s + 2], …, [s + T − 1, s + T] an. - Aufgrund von Arbitrageüberlegungen gilt: (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + f_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t) - Ein Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab zwischen einer einmaligen Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t Perioden, und einer Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinssätzen r_(0, 1), f_(1, 2), f_(2, 3), …, f_(t − 1, t). Renditestrukturtypen [image] Quelle: Albrecht (2007), S. 84. - Allgemein gilt [1 + r_(T)(s)]^(T) = [1 + f₁(s)][1 + f₂(s)] ⋅ ... ⋅ [1 + f_(T)(s)] - Damit folgt $$r_T(s) = \sqrt[T]{ \prod [1 + f_t(s)] } - 1$$ - Außerdem gilt ferner 1 + f₁(s) = 1 + r₁(s)  bzw.  f₁(s) = r₁(s) sowie für T ≥ 2 $$\label{eq:ref1} 1 + f_T(s) = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + r_{T-1}(s)]^{T-1}} = \frac {[1 + r_T(s)]^T}{[1 + f_1(s)] ... [1 + f_{T-1}(s)]}$$ - Bei flacher Zinsstruktur fallen Spot und Forward Rate zusammen, denn aus r_(t)(s) = r für alle t folgt unmittelbar f_(t)(s) = r für alle t. - Die Forward Rates lassen sich ebenso aus der Diskontstruktur ableiten. Zwischen Diskontsätzen und Forward Rates gilt zunächst der Zusammenhang $$b_T(s) = [1 + r_T(s)]^{-T} = \prod_{i=1}^T [1 + f_t(s)]^{-1}$$ - In Gleichung [eq:ref1] ist daher nur [1 + r_(T)(s)]^(T) durch $\frac{1}{b_T(s)}$ zu ersetzen. Zeitstruktur der Zinssätze [image] [image] [image] Anwendung auf die Kursrechnung - Wir wollen nun den fairen Wert P₀ eines Zahlungsstroms Z = {Z₁, …, Z_(T)} im verallgemeinerten Zinsmodell bestimmen und stellen dafür eine Arbitragefreiheitsüberlegung an. - Den Ausgangspunkt bilden die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)} in t = 0 bzw. die daraus abgeleiteten impliziten Terminzinssätze {f₁, …, f_(T)}, wobei r_(t) := r_(t)(0) und f_(t) := f_(t)(0). - Eine Investition von P₀ in Zerobonds gemäß der aktuellen Zinsstruktur muss denselben Endwert haben wie der Kauf des Titels und die Reinvestition der Rückflüsse zu Marktbedingungen. - Diese Überlegung beruht darauf, dass die Zinsstruktur {r₁, …, r_(T)} für t > 0 unverändert bleibt bzw. die impliziten Terminsätze auch eintreten, d.h. mit den zukünftigen Wiederanlagezinssätzen zusammenfallen (Vernachlässigung des Zinsänderungsrisikos). - Unter Benutzung der Terminsätze folgt daraus die Bedingung $$P_0 \prod_{t=1}^T (1 + f_t) = \sum_{t=1}^T Z_t \prod_{i=t+1}^T (1 + f_i)$$ - Hieraus ergibt sich $$P_0(f_1,...,f_T) = \sum_{t=1}^T Z_t \left( \prod_{i=1}^t (1 + f_i) \right) ^{-1}$$ - In Abhängigkeit von den Spot Rates lautet die Preisgleichung entsprechend $$P_0(r_1,...,r_T) = \sum_{t=1}^T Z_t(1 + r_t)^{-t}$$ - und in Abhängigkeit von den Diskontfaktoren schließlich $$P_0(b_1,...,b_T) = \sum_{t=1}^T Z_tb_t$$ - Hieraus wird insb. deutlich, dass der Preis eines Kuponbonds der Summe der Barwerte der Zerobonds, in die er zerlegt werden kann (Bond-Stripping), entspricht. - Wir schauen uns nun die Methode des Bootstrapping an. - Für jede der Restlaufzeiten t = 1, …, m liege hierbei ein Kuponbond mit Laufzeit t, Preis P_(t) und Zahlungsstrom Z = {Z_(t1), …, Z_(tt)} vor. - Damit besteht das Gleichungssystem $$\begin{split} P_1 &= Z_{11}b_1 \\ P_2 &= Z_{21}b_1 + Z_{22}b_2 \\ \vdots \\ P_t &= Z_{t1}b_1 + Z_{t2}b_2 +...+ Z_{tt}b_t \\ \vdots \\ P_m &= Z_{m1}b_1 + Z_{m2}b_2 +...+ Z_{mt}b_t +...+ Z_{mm}b_m \end{split}$$ für die Diskontstrukturkurve {b₁, …, b_(m)}. - Nach rekursivem Auflösen des Gleichungssystems gilt b₁ = P₁/Z₁₁, b₂ = (P₂ − Z₂₁b₁)/Z₂₂, etc. - So kann die Diskontstruktur direkt aus den Kuponbondpreisen abgeleitet werden (und daraus dann die Zinsstruktur). Beispiel: Bootstrapping Gegeben sind drei Kuponbonds mit identischem Nennwert N = 1000, den Restlaufzeiten t = 1, 2 sowie 3, einem einheitlichen Kupon von Z = 50 und Marktpreisen P₁ = 999, P₂ = 998 sowie P₃ = 997. Bestimmen Sie die Diskontstruktur {b₁, b₂, b₃} sowie die Zinsstruktur {r₁, r₂, r₃}. - Zahlungsströme: - Bond 1: {−999, 1050} - Bond 2: {−998, 50, 1050} - Bond 3: {−997, 50, 50, 1050} - Bootstrapping-Gleichungssystem: 1. 999 = 1050b₁ 2. 998 = 50b₁ + 1050b₂ 3. 997 = 50b₁ + 50b₂ + 1050b₃ - Aus (1) folgt $b_1 = \frac {999}{1050} = 0.9514$ - und damit $r_1 = \frac {1}{b_1} - 1 = 5.1051\%$ - Aus (2) folgt $b_2 = \frac {998-50b_1}{1050} = \frac {998-47.57}{1050} = \frac {950.43}{1050} = 0.9052$ - und damit $r_2 = \sqrt {\frac {1}{b_2}} - 1 = 5.1078\%$ - Aus (3) folgt schließlich: $b_3 = \frac {997-50b_1-50b_2}{1050} = \frac {997-47.57-45.26}{1050} = \frac {904.17}{1050} = 0.8611$ - und damit $r_3 = \sqrt[3] {\frac {1}{b_3}} - 1 = 5.1106\%$. Erklärung der Zinsstruktur Erklärung der Zinsstruktur - Frage: Was bestimmt die Gestalt der Zinsstruktur? - Mögliche Erklärungen liefern die Erwartungstheorie und die Liquiditätstheorie. Erwartungstheorie - Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen den heutigen Forward-Zinssätzen/Terminzinssätzen und den Zinssätzen der kommenden Periode. - Die Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität und besagt, dass eine Investition in eine Reihe von Anleihen mit kurzer Laufzeit im Gleichgewicht die gleiche erwartete Rendite bieten muss wie eine Investition in eine einzelne Anleihe mit langer Laufzeit. - Sie besagt, dass der einzige Grund für eine nach oben geneigte Laufzeitstruktur darin besteht, dass die Anleger einen Anstieg der kurzfristigen Zinssätze erwarten. - Der einzige Grund für eine sinkende Terminstruktur ist, dass die Anleger erwarten, dass die kurzfristigen Zinssätze fallen. - Die Erwartungstheorie kann keine vollständige Erklärung für die Zinsstruktur sein, wenn sich die Anleger Sorgen um das Risiko machen. - Begründung durch Arbitrageüberlegungen. Es gilt: (1 + r_(0, s))^(s) ⋅ (1 + r̃_(s, t))^(t − s) = (1 + r_(0, t))^(t) - Die Forward-Zinssätze sind bekannt, daraus sollen sich die kommenden Zinssätze erklären lassen. - Die Zinsstruktur wird über die Erwartungen über die Entwicklung der kurzfristigen Zinssätze erklärt: - Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wägt ab zwischen einmaliger Anlage zum Zinssatz r_(0, t) über t Perioden, und Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinssätzen r_(0, 1), r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t). - Zinssätze r̃_(1, 2), r̃_(2, 3), …, r̃_(t − 1, t) sind im ZP 0 unbekannt. - Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralität ⇒ Kapitalanleger verhält sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen verbundenen Risiko neutral. - Erwartetes EV beider Anlageformen ist (wg. der Risikoneutralität) gleich groß: (1 + r_(0, t))^(t) = (1 + r_(0, 1)) ⋅ (1 + E[r̃_(1, 2)]) ⋅ (1 + E[r̃_(2, 3)])… ⋅ (1 + E[r̃_(t − 1, t)]). - Dieser Argumentation entsprechend gilt: E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾] = r_(1, 2)⁽⁰⁾. - D. h. der erwartete Einjahres-Zinssatz in einem Jahr (E[r̃_(1, 2)⁽¹⁾]) entspricht dem heutigen Forward-Zinssatz (r_(1, 2)⁽⁰⁾). ⇒ Eine Prognose, die mit großen Unsicherheiten verbunden ist. - Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt definiert die gegenwärtige Zinsstruktur eindeutig die Terminzinssätze. Diese legen die Erwartungswerte der zukünftigen Zinssätze fest. Liquiditätspräferenztheorie - Postuliert, dass Forward-Zinssätze immer über den zukünftigen Zinssätzen liegen. - Begründung: - Anleger/Finanzinvestoren wollen liquide bleiben und bevorzugen daher eher kurze Laufzeiten bei der Anlage. ⇒ trotz steigender Zinssätze finden Kapitalgeber eine längerfristige Bindung uninteressant. - Folge: Anlegern muss für längere Laufzeiten eine Prämie geboten werden = Zinsstrukturkurve ist ansteigend auch wenn Zinsen in der Zukunft nicht steigen (Zinssätze müssen wg. der Prämie nicht zwingend steigen!). - Schuldner bevorzugen dagegen langfristiges Kapital (u. a. wegen Planungssicherheit). - Insgesamt: - Überschussangebot an Kapital im kurzfristigen Bereich, weil sich viele Investoren nur kurzfristig binden möchten. - Überschussnachfrage an Kapital im langfristigen Bereich; Kapitalnehmer bevorzugen langfristige Finanzierungen. - ⇒ um diese Überschüsse zum Ausgleich zu bringen, muss die Zinsstruktur ansteigen. - Bei einer flachen Zinsstrukturkurve gäbe es ein Überangebot an kurzfristigem und eine Übernachfrage nach langfristigem Kapital. Um das Ungleichgewicht zu beseitigen, müssen die Zinsen am langen Ende steigen. Eine steigende Zinsstrukturkurve stellt sich ein und kann über die Zeit hinweg stabil bleiben. Kritik - Investoren, die durch eine Geldanlage Auszahlungen zu späteren Terminen finanzieren wollen. - Die aus einer Geldanlage resultierenden zukünftigen Einzahlungen sollten möglichst die geplanten Auszahlungen übersteigen. ⇒ Wichtig, das Risiko (Unsicherheit des Zinssatzes) dieser Einzahlungen zu minimieren. ⇒ Investor, der das Risiko aus den späteren Einzahlungen minimieren will, wird daher bei gleichem erwarteten EV beider Anlagealternativen die langfristige Anlage vorziehen oder eine Risikoprämie für die kurzfristige revolvierende Anlage verlangen. - Bei Dominanz dieser Investoren → inverse ZSK! Reale und nominale Zinssätze Reale und nominale Zinssätze - Es gibt verschiedene Indizes, die die realen Preise darstellen. - Der bekannteste ist der Consumer Price Index (CPI), der angibt, wie teuer ein typischer Warenkorb einer Familie ist. - Über die Differenz des CPI von einem zum nächsten Jahr kann folglich die Inflationsrate bestimmt werden. - Inflation im Euro-Raum gemessen am harmonisierten Verbraucherpreisindex (1997 - 2023) [image] Reale und nominale Zinssätze - Die Formel für die Umwandlung der nominalen Cash Flows einer zukünftigen Periode t in reale Cash Flows heute lautet $$\begin{aligned} \text{Realer Cash Flow (in $t$)}=\frac{\text{Nominaler Cash Flow (in $t$)}}{(1+\text{Inflationsrate})^t} \end{aligned}$$ - Die Formel zur Berechnung der realen Spot Rate r_(real) ist ähnlich: $$\begin{aligned} 1+r_{\text{Real}}=\frac{1+r_{\text{Nominal}}}{1+\text{Inflationsrate}} \end{aligned}$$ - Wie beeinflusst die zukünftige erwartete Inflation den nominalen Zinssatz? - Fisher’s Theorie: Eine Änderung der erwarteten Inflationsrate bewirkt die gleiche proportionale Änderung des nominalen Zinssatzes und hat keinen Effekt auf den realen Zinssatz. Reale und nominale Zinssätze - Die Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und Treasury Bill Rate. - Offensichtlich forderten die Investoren meistens dann einen hohen Zinssatz, wenn auch die Inflationsrate hoch war. [image] Analyse des Zinsänderungsrisikos Analyse des Zinsänderungsrisikos - Wie aus der Darstellung der Entwicklung der Zinsstruktur deutlich wird, unterliegt die Zinsstrukturkurve einer zeitlichen Änderung. Dabei bewirken Zinsänderungen - eine Änderung des Kurses (Barwert) - eine Änderung der Reinvestitionserträge aus den Rückflüssen (Endwert) - Barwerte (Kurse) und Endwerte (resultierendes Endvermögen) unterliegen somit einem Zinsänderungsrisiko. - Die Quantifizierung der Zinsstrukturkurve und ihrer zeitlichen Änderungen ist die Voraussetzung für eine Quantifizierung der Auswirkungen des Zinsänderungsrisikos. - Wir konzentrieren uns dabei auf einen einfachen deterministischen Ansatz und treffen dazu folgende Annahmen: - Die Zinsstruktur in s = 0 sei flach: r_(t)(0) = r. - Kauf eines festverzinslichen Titels {Z₁, …, Z_(T)} zum Kurs (Barwert) P(r). - Die Zinsänderung besteht in einem einmaligen Übergang in eine flache Zinsstruktur der Höhe r + Δr. - Der übergang geschieht unmittelbar nach Kauf bzw. in t = 0. Man vergleicht also die Änderung des Barwerts bei einer Änderung des Diskontierungsfaktors. - Um die Auswirkungen einer Zinsänderung r + Δr zu quantifizieren bestimmen wir (approximativ) die hieraus resultierende Barwertänderung ΔP = P(r + Δr) − P(r) sowie die entsprechende Endwertänderung ΔK_(T) = K_(T)(r + Δr) − K_(T)(r). - Hierzu analysieren wir zunächst die Eigenschaften der Barwertfunktion bei Annahme einer flachen Zinsstruktur. - Es gilt $$P(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}$$ $$P'(r) = - \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t} < 0$$ $$P''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t} > 0$$ - Die Barwertfunktion ist somit eine streng monoton fallende und konvexe Funktion. - Dies impliziert: - Bei steigendem Marktzins fällt der Barwert (Kurs). - Bei fallendem Marktzins steigt der Barwert (Kurs). - Eine Zinssenkung führt zu einer stärkeren Kursveränderung als eine gleich hohe Zinserhöhung. [image] - Analog analysieren wir die Endwertfunktion. Es gilt: $$K_T(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{T-t}$$ $$K_T'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)Z_t(1+r)^{-t} > 0$$ $$K_T''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T (T-t)(T-t-1)Z_t(1+r)^{-t} > 0$$ - Die Endwertfunktion ist somit ebenfalls konvex, jedoch streng monoton steigend. - Dies impliziert: - Bei steigendem Marktzins steigen die Reinvestitionserträge und damit der Endwert (relative Vermögenssteigerung) - Bei fallendem Marktzins fallen die Reinvestitionserträge und damit der Endwert (relative Vermögensminderung) - Insgesamt wirken Zinsänderungseffekte somit entgegengesetzt auf Bar- und Endwert. - Effekt 1: Wenn Zinssätze steigen, sinken Anleihenpreise: Wenn die vorherrschenden Zinssätze steigen, werden Anleihen mit fixen Kuponzahlungen ceteris paribus weniger wertvoll, weil die Kuponzahlungen im Vergleich zum Markt nicht ansteigen (Barwert/Preis sinkt). - Effekt 2: Höhere Zinszahlungen ermöglichen bessere Wiederanlagemöglichkeiten für zwischenzeitliche Rückflüsse aus Kuponzahlungen (Endwert steigt). Barwert- und Endwertänderung bei einer Zinsänderung [image] Quelle: Albrecht (2007), S. 88. Beispiel: Anleihe mit EZü e_(t) Annahme: flache Zinsstruktur mit k = 9% $$\begin{array}{r|c|c|c|c} t & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline e_t & & 9 & 9 & 109 \end{array}$$ $$\begin{aligned} \Rightarrow & PV & = 100 \\ & FV & = 100 \cdot 1,09^3 = 129,50 \end{aligned}$$ [image] Annahme: unmittelbare (d. h. in t = 0⁺) Zinsänderung auf k = 10% $$\begin{aligned} \Rightarrow & PV & = \frac{9}{1,1} + \frac{9}{1,1^2} + \frac{109}{1,1^3} = 97,51 \\ & & \text{nur Effekt 1 wirksam} \\ & FV & = 97,51 \cdot 1,1^3 = 129,79 \\ & & \text{nur Effekt 2 wirksam} \end{aligned}$$ Für alle Kapitalwerte K_(t) mit t ∈ ]0, 3[ sind beide Effekte wirksam! [image] - Ob das Vermögen mit Zinsänderung $\stackrel{>}{<}$ dem Vermögen ohne Zinsänderung ist, hängt davon ab, welcher ZP untersucht wird! - Es gibt einen ZP D, bei dem das Vermögen mit Zinsänderung gleich dem Vermögen ohne Zinsänderung ist, d. h. im ZP D besteht kein Zinsänderungsrisiko! - Man sagt: Im ZP D ist das (End-)Vermögen gegenüber Zinsänderungen immunisiert. - Man kann sogar zeigen, dass das Vermögen ohne Zinsänderungen im ZP D ein Minimum hat, d. h., dass jede Zinsänderung (pos. oder neg.) zu einem Vermögenszuwachs führt. - Dazu schauen wir uns im folgenden das Konzept der Duration an. Die Duration - Im Rahmen einer Analyse des Zinsänderungsrisikos wenden wir uns nun einer Reihe von (eng verwandten) Kennziffern zur Zinssensitivität des Barwerts zu. - Wir beginnen mit der absoluten Duration, definiert durch $$D_A(r) = -P'(r) = \frac {1}{1+r} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r)^{-t}$$ - Diese entspricht somit der ersten Ableitung der Barwertfunktion, jedoch mit negativem Vorzeichen. Da P^(′)(r) < 0, folgt D_(A)(r) > 0. - Aus geometrischer Sicht wird unter Verwendung der ersten Ableitung der Barwertfunktion die Änderung der Barwertfunktion linear approximiert durch die entsprechende Änderung des Funktionswerts der Tangente an die Barwertkurve. Absolute Duration als lin. Approximation der Barwertkurve [image] Quelle: Albrecht (2007), S. 89. - Aus analytischer Sicht ist die absolute Duration ein approximatives Maß für die absolute Kursänderung bei absoluter Zinsänderung, denn es gilt entsprechend zur geometrischen Darstellung ΔP(r) ≈ −D_(A)(r) ⋅ Δr - Je höher die Duration, desto größer das Zinsänderungsrisiko im Sinne einer Barwertänderung. - Die Höhe der Duration hängt dabei wiederum von dem Ausgangsrenditenniveau r ab. - Die lineare Approximation der Barwertkurve unterliegt einem Approximationsfehler, der umso größer ist, - je größer Δr - je gekrümmter die Barwertkurve r ist. - Der Effekt steigender Zinsen (Kursverlust) wird somit überschätzt, der Effekt fallender Zinsen (Kursanstieg) hingegen unterschätzt. - Aus der absoluten Duration lassen sich weitere Durationsmaße ableiten. - Die modifizierte Duration (Modified Duration), definiert durch $$D_M(r) \coloneqq \frac {D_A(r)}{P(r)} = \frac {\frac {1}{1+r} \sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$ ist ein approximatives Maß für die relative Kursänderung bei absoluter Zinsänderung. - Es gilt $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)} \approx -D_M(r) \cdot \Delta r$$ - Die Macaulay-Duration (oft nur als Duration bezeichnet) ist definiert durch $$\label{eq:Macaulay} D(r) = (1+r)D_M(r) = \frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)}$$ - Sie ergibt sich aus der zeitgewichteten Summe der diskontierten Zahlungen dividiert durch den Barwert der Anleihe und kann auch als das gewichtete Mittel der Fälligkeitszeitpunkte der einzelnen Zahlungen interpretiert werden. - Die Duration gibt somit die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer an. - Ihre Einheit entspricht dabei der gewählten Zeiteinheit (i.d.R. Jahre). - Als ΔP(r) bzw. D(r) entsprechende Approximation erhält man $$\frac {\Delta P(r)}{P(r)} \approx - \frac {(1+r+\Delta r)-(1+r)}{1+r}D(r) = - \frac{\Delta r}{1+r} D(r)$$ - Die Macaulay-Duration ist somit ein Maß für die relative Kursänderung bei relativer Änderung des Aufzinsungsfaktors. Beispiel: Duration eines Standardbonds Wir betrachten einen Standardbond mit einer Laufzeit von 4 Jahren, einem Nennwert von 1000 Euro sowie einem Nominalzins von 6%. Zu bestimmen ist die Duration des Bonds, wenn der anfängliche Zinssatz 4% beträgt. Der Zahlungsstrom des Bonds ist zunächst gegeben durch { 60, 60, 60, 1060 }. Es gilt im Einzelnen $$\begin{aligned} \frac{60}{1.04} &= 57.692\\ \frac{60}{1.04^{2}}&= 55.473 \quad & \mbox{und damit} \quad & 2 \cdot \frac{60}{1.04^{2}} = 110.946\\ \frac{60}{1.04^{3}}&= 53.340 \quad & \mbox{und damit} \quad & 3 \cdot \frac{60}{1.04^{3}} = 160.020\\ \frac{1060}{1.04^{4}}&= 906.092 \quad & \mbox{und damit} \quad & 4 \cdot \frac{1060}{1.04^{4}} = 3624.37 \end{aligned}$$ Als Macaulay-Duration ergibt sich nach diesen Vorüberlegungen $$D = \frac {57.692+110.946+160.020+3624.37}{57.692+55.473+53.340+906.092}= \frac {3953.028}{1072.597} = 3.6855$$ Die Duration des Bonds beträgt somit 3.6855 Jahre. Beispiel: Duration eines Zerobonds Betrachtet man einen Zerobond mit Laufzeit T, so erhält man durch Auswertung der von Gleichung [eq:Macaulay] das Resultat D(r) = T. Bei einem Zerobond stimmt somit die Duration stets mit seiner Laufzeit überein. - Die Duration eines Zerobonds mit Laufzeit T beinhaltet gleichzeitig die maximale Duration aller Bonds mit gleicher Laufzeit, denn es gilt $$\frac {\sum tZ_t(1+r)^{-t} }{P(r)} \le \frac {T \sum Z_t(1+r)^{-t} }{P(r)} = T$$ - Die Duration hängt nicht nur vom anfänglichen Zinsniveau, sondern auch von der Restlaufzeit und Kuponhöhe ab. - Abschließend zum Thema Duration betrachten wir noch die Portfolioduration. - Diese berechnet sich als die gewichtete Summe der Durationen der einzelnen Titel. - Es seien X = {X₁, …, X_(T)} und Z = {Z₁, …, Z_(T)} zwei Zahlungsreihen. - Dann gilt insbesondere $$D_{X+Z} = \frac {P_X}{P_X + P_Z} D_X + \frac {P_Z}{P_X + P_Z} D_Z$$ - Für die Portfolioduration gilt allgemein analog $$D_P = \sum \limits_{i=1}^n x_iD_i$$ wobei x_(i) = P_(i)/P dem Barwert von Titel i bezogen auf den Gesamtwert des Portfolios entspricht. - Der in der vorherigen Abbildung veranschaulichte Approximationsfehler bei der Quantifizierung der durch eine Zinsänderung induzierte Barwertänderung lässt sich durch Einbeziehung der Konvexität verringern. - Theoretischer Ausgangspunkt ist dabei die Taylor-Entwicklung einer Funktion f im Punkt x₀. Durch den Abbruch der Taylorreihe erst nach dem zweiten Glied wird die lineare Approximation verbessert, konkret $$\Delta P = P'(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} P''(r)\ (\Delta r)^2 = -D_A(r) \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C_A(r)\ (\Delta r)^2$$ - Dabei ist die absolute Konvexität gegeben durch die zweite Ableitung der Barwertfunktion $$C_A(r) = P''(r) = \frac {1}{(1+r)^2} \sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}$$ Konvexität - Der Betrag $\frac{1}{2} C_A(r)(\Delta r)^2$ erfasst dabei die absolute Kursänderung aufgrund des quadratischen Anteils der Krümmung der Barwertkurve. - Eine Division von ΔP durch P ergibt die Approximation $$\frac {\Delta P}{P} \approx -D_M \cdot \Delta r + \frac {1}{2} C(r)\ (\Delta r)^2$$ wobei die Konvexität C(r) definiert ist durch $$C(r) = \frac {P''(r)}{P} = \frac {\sum \limits_{t=1}^T t(t+1)Z_t(1+r)^{-t}}{(1+r)^2 \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{-t}}$$ Zinsänderungsimmunisierung - Zuvor wurden die gegenläufigen Wirkungen einer Zinsänderung bzgl. Barwert und Endwert eines Bonds veranschaulicht. Ist es in bestimmten Konstellationen möglich, die anfängliche (vor Eintritt der Zinsänderung) Wertentwicklung trotz einer eingetretenen Zinsänderung sicherzustellen? - Dazu betrachten wir zunächst den Wert eines durch die Rückflüsse {Z₁, …, Z_(T)} charakterisierten, festverzinslichen Titels zu einem beliebigen Zeitpunkt 0 ≤ s ≤ T unter dem anfänglichen Zins r₀. - Hierbei gilt $$K_s(r_0) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{s-t}$$ - Bei sofortiger einmaliger Zinsänderung r + Δr in t = 0 ergibt sich für den Barwert zum Zeitpunkt s unter dieser Konstellation $$K_s(r_0 + \Delta r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r+\Delta r)^{s-t}$$ - Ist es zu einem Zeitpunkt s möglich, dass für Zinsänderungen eines bestimmten Ausmaßes Δr stets K_(s)(r₀ + Δr) ≥ K_(s)(r₀) gilt? - In einem solchen Fall wäre gewährleistet, dass - zumindest in diesem Zeitpunkt und für Änderungen des anfänglichen Zinssatzes in einem bestimmten Umfang—der Wert des Bonds zum Zeitpunkt s trotz Zinsänderung nicht geringer ist als unter dem anfänglich geltenden Zins. - Die Erfüllung der obigen Ungleichung läuft auf die Frage der Existenz eines lokalen oder sogar globalen Minimums hinaus. - Die Antwort ist dabei positiv und sie lautet s = D(r₀) - Wenn wir einen Zeitpunkt wählen, welcher der Duration zum anfänglichen Zins entspricht, so besitzt die Wertfunktion K_(s) = K_(D) ein Minimum im Punkt r₀ und die obige Ungleichung ist erfüllt. - Im Folgenden wollen wir den Nachweis der Eigenschaft eines lokalen Minimums erbringen. Allgemein gilt $K_s(r) = \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r)^{s-t}$ sowie $K'_s(r) = (1+r)^{s-1}\sum \limits_{t=1}^T (s-t)Z_t(1+r)^{-t}$. - Damit folgt 0 = K^(′)_(s)(r₀) ̄ $= s(1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T Z_t(1+r_0)^{-t}$ $- (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$ $= s(1+r_0)^{s-1}P(r_0) - (1+r_0)^{s-1} \sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}$ - Insgesamt folgt $$\quad s = \frac {\sum \limits_{t=1}^T tZ_t(1+r_0)^{-t}}{P(r_0)} = D(r_0)$$ d.h. die Eigenschaft eines lokalen Minimums ist nachgewiesen. - Allgemeiner lässt sich zeigen, dass sogar ein globales Minimum vorliegt, d.h. die obige Ungleichung gilt sogar für zugelassene Zinsänderungen in beliebiger Höhe. - Weiterhin bedeutet die Ungleichung, dass spätestens bis zum Zeitpunkt s = D(r₀) ein anfänglicher Kursverlust infolge steigender Zinsen durch die verbesserten Reinvestitionsmöglichkeiten zumindest kompensiert, ggf. sogar überkompensiert worden ist. - Zu beachten ist, dass die Aussage nicht K_(s)(r₀ + Δr) = K_(s)(r₀) lautet, d.h. die Zinsänderungen werden nicht notwendigerweise alle im gleichen Zeitpunkt kompensiert, sondern jede Zinsänderung besitzt in der Regel einen eigenen Kompensationszeitpunkt. - Sicher ist aber, dass im Zeitpunkt s die Wertentwicklung gleich der unteren Grenze K_(s)(r₀) ist oder darüber liegt. - Fasst man den Wert K_(s)(r₀) als Untergrenze eines (nach oben unbegrenzten) Fensters auf, das sich um den Zeitpunkt der Duration befindet, so erhält man das sogenannte Durationsfenster (Duration Window). Durationsfenster [image] Quelle: Albrecht (2007), S. 94. - Die zentrale Annahme bei den vorherigen Analysen ist die einer flachen Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfänglichen deterministischen Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf. - Mehrfache Änderungen sind kein Problem, da man nach jeder erfolgten Zinsänderungen entsprechende Anpassungen vornehmen kann. - Bezüglich der Annahme einer flachen Zinsstruktur gibt es inzwischen eine Reihe von Erweiterungen wie die Single-Faktor-Durationsmodelle, Faktormodelle der Zinsstruktur sowie die Key-Rate-Duration. - Ein weiteres Problem des Durationsansatzes ist, dass traditionelle Durationskonzepte Zinsänderungsrisiken nicht mehr erfassen können, wenn die Höhe der Zinszahlungen selbst von Zinsänderungen beeinflusst wird wie bei zinssensitiven Produkten oder Bonds mit eingebetteten Optionen. Hier können optionsadjustierte Durationsmaße angewandt werden. - Insgesamt können wir festhalten, dass das einfache Durationsmaß ein sehr nützliches Konzept im Sinne einer ersten Approximation für die Analyse des Außmaßes des Zinsänderungsrisikos und einer darauf aufbauenden Portfoliosteuerung darstellt. - Es unterliegt jedoch einer Reihe von Beschränkungen und liefert nur approximative Ergebnisse. - Daher kommt es vor allem auf den spezifischen Anwendungszweck an, ob mit diesem Ansatz oder verfeinerten Analysen gearbeitet wird. Zusammenfassung und Ausblick - Heute haben wir uns mit der Theorie der Zinsstruktur beschäftigt. - Wir haben über Zinsänderungen gesprochen und über die Möglichkeit, sich dagegen abzusichern (Duration). Vielen Dank!