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\section Theorie der Zinsstruktur

- Bisher sind wir stets von einem einheitlichen Zins r ausgegangen, der insb. unabhngig von dem Anlagehorizont bzw. bei Festzinstiteln unabhngig von der Laufzeit des Zinstitels ist. 
- Empirische Analysen zeigen jedoch, dass die Rendite eine Funktion der Restlaufzeit ist und sich diese Funktion im Zeitablauf ndert.
- Zur Quantifizierung dieses Sachverhalts führen wir im Folgenden die Konzepte der Renditestrukturkurve sowie der Zinsstrukturkurve ein.

- Die folgende Abbildung zeigt die Zinsstruktur in zwei unterschiedlichen Zeitpunkten.
 
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Wir unterscheiden die folgenden Zinsstze: 
-Spot Rate - der aktuelle Zinssatz heute (t=0). 
-Forward Rate - der Zinssatz, der heute festgelegt wird, zu einem festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft. 
-Future Rate - die erwartete zukünftige Spot Rate. 
-Yield to Maturity - der interne Zinsfußeiner verzinslichen Anlage. 


Definition:
Die internen Renditen der Einheitszerobonds werden als Spot Rates (Kassazinsstze) bezeichnet. Ist b(0,t) der Preis des Einheitszerobonds mit Laufzeit t, so gilt die interne Zinsfuß-Gleichung:

b(0, t) = 1 × (1 + r)^(-t)

D. h. die Preise b(0,t),t>0, der Einheitszerobonds sind quivalent zu den Diskontierungsfaktoren.

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Definition:
Die Forward Rate (Terminzinssatz) ist der Zinssatz, der heute (Zeitpunkt 0) vereinbart wird für eine Mittelanlage zum Zeitpunkt s über t-s Perioden
Formel der impliziten Forward Rate:

r_ s,t} = √[t−s]  (1 + r_ 0,t})^t / (1 + r_ 0,s})^s } − 1
    
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Renditestrukturkurve
Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) beschreibt die funktionale Abhngigkeit der Rendite (interner Zinsfuß) von Kuponanleihen (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit.


Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) erfasst die funktionale Abhngigkeit der Rendite (auf Basis des internen Zinsfußes) von Festzinstiteln (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit. Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1,..., n ist die Renditestrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Renditegrößen

  	 y_1(s), ..., y_n(s)}


und im allg. Fall durch die Menge der Renditegröße

	 y_T(s); T > 0}
wobei y_T(s) die Rendite eines Bonds zum Zeitpunkt s bei einer Restlaufzeit von T Perioden bezeichne. Alternativ wird auch die Notation y(s,s+T) verwendet.

- In der Praxis betrachtet man die durchschnittliche empirische Rendite von Anleihen (gleicher Gattung und Bonitt) gleicher Restlaufzeit.
- Anschließend verwendet man ein Glttungsverfahren zur Anpassung einer bestimmten funktionalen Struktur an die empirischen Renditen.
- Sind die internen Renditen für alle Restlaufzeiten identisch, so spricht man von einer flachen Renditestruktur.
- Nehmen die Renditen mit zunehmender Restlaufzeit zu, liegt eine steigende (normale) Renditestruktur vor.
- Nehmen die Renditen mit zunehmender Laufzeit ab, spricht man von einer fallenden (inversen) Renditestruktur. 

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Zinsstrukturkurven

Definition: Zinsstrukturkurve

Die Zinsstrukturkurve beschreibt die funktionale Abhngigkeit der Renditen (interne Renditen) von Nullkuponanleihen (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit.


- Die Zinsstrukturkurve (Term Structure of Interest Rates) erfasst ebenfalls die funktionale Abhngigkeit der Rendite von ihrer Restlaufzeit. Hierbei werden jedoch nur Nullkuponanleihen zugrunde gelegt. 
- Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1,..., n ist die Zinsstrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Größen
  r_1(s), ..., r_n(s)}


und im allg. Fall durch die Menge der Größen
	  r_T(s); T > 0}

wobei r_T(s) den internen Zinsfuß(auch: Kassazinssatz, Spot Rate) zum Zeitpunkt s einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T bezeichnet. Alternativ wird auch die Notation r(s,s+T) verwendet.

Diskontstrukturkurve

Die Diskontstrukturkurve ist allg. spezifiziert durch die Größen
  b_T(s); T > 0]

Sie ist quivalent zur Zinsstrukturkurve und gibt die Kurse von Einheitszerobonds mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt s an. Alternativ zur Notation b_T(s) wird auch die Notation b(s,s+T) verwendet.
Der Zusammenhang zwischen Zins- und Diskontstrukturkurve ist bei diskreter Verzinsung gegeben durch
r_T(s) = √[T]  1 / b_T(s) } − 1 ⇔ b_T(s) = [ 1 + r_T(s) ]^(−T)


- Vor dem Hintergrund der Problematik des internen Zinsfußes im Kontext der Wiederanlage von zwischenzeitlichen Zahlungen, ist nur die Zins- bzw. quivalent die Diskontstruktur eine unverzerrte Konzeption zur Quantifizierung der Fristigkeitsabhngigkeit der Zinsstze, da hier die Wiederanlageproblematik entfllt.
- Hieraus lassen sich weitergehende Überlegungen bspw. zur Bewertung von festverzinslichen Titeln oder zur Quantifizierung des Zinsnderungsrisikos anstellen.

- Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebene Zinsstruktur  r_T(s)} beinhaltet neben den Kassazinsstzen auch Informationen über die impliziten Terminstze (Implied Forward Rates).
- Die Forward Rates f_1(s),..,f_T(s) geben dabei die Verzinsung für die zukünftigen sukzessiven Perioden [s,s+1],[s+1,s+2],...,[s+T-1,s+T] an. 


- Aufgrund von Arbitrageüberlegungen gilt:

(1 + r_ 0,s})^s × (1 + f_ s,t})^(t−s) = (1 + r_ 0,t})^t

- Ein Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wgt ab zwischen einer einmaligen Anlage zum Zinssatz r_ 0,t über t Perioden, und einer Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinsstzen r_ 0,1}, f_ 1,2}, f_ 2,3,..., f_ t-1,t}. 


Renditestrukturtypen
    
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- Allgemein gilt
[1 + r_T(s)]^T = [1 + f_1(s)] × [1 + f_2(s)] × ... × [1 + f_T(s)]

⇒ r_T(s) = ( ∏ [1 + f_t(s)] )^(1/T) − 1

Also holds:
1 + f_1(s) = 1 + r_1(s), i.e., f_1(s) = r_1(s)

For T ≥ 2:
1 + f_T(s) = [1 + r_T(s)]^T / [1 + r_ T−1}(s)]^(T−1)  
      = [1 + r_T(s)]^T / ( [1 + f_1(s)] × ... × [1 + f_ T−1}(s)] )



- Bei flacher Zinsstruktur fallen Spot und Forward Rate zusammen, denn aus r_t(s)=r für alle t folgt unmittelbar f_t(s) = r für alle t.
- Die Forward Rates lassen sich ebenso aus der Diskontstruktur ableiten. Zwischen Diskontstzen und Forward Rates gilt zunchst der Zusammenhang	
b_T(s) = [1 + r_T(s)]^(−T) = ∏ (from t = 1 to T) of [1 + f_t(s)]^(−1)

- In Gleichung ist daher nur [1+r_T(s)]^T durch 1/b_T(s) zu ersetzen.



\frametitle Zeitstruktur der Zinsstze

3 BILD FOLIEN



\frametitle Anwendung auf die Kursrechnung

- Wir wollen nun den fairen Wert P_0 eines Zahlungsstroms Z=\ Z_1,...,Z_T} im verallgemeinerten Zinsmodell bestimmen und stellen dafür eine Arbitragefreiheitsüberlegung an.
- Den Ausgangspunkt bilden die Zinsstruktur  r_1,...,r_T} in t=0 bzw. die daraus abgeleiteten impliziten Terminzinsstze  f_1,...,f_T], wobei r_t:=r_t(0) und f_t:=f_t(0).
- Eine Investition von P_0 in Zerobonds gemßder aktuellen Zinsstruktur muss denselben Endwert haben wie der Kauf des Titels und die Reinvestition der Rückflüsse zu Marktbedingungen. 
- Diese Überlegung beruht darauf, dass die Zinsstruktur  r_1,..,r_T} für t>0 unverndert bleibt bzw. die impliziten Terminstze auch eintreten, d.h. mit den zukünftigen Wiederanlagezinsstzen zusammenfallen (Vernachlssigung des Zinsnderungsrisikos).


	- Unter Benutzung der Terminstze folgt daraus die Bedingung

P₀ × ∏ (from t = 1 to T) of (1 + f_t) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × ∏ (from i = t+1 to T) of (1 + f_i)

⇒ P₀(f₁, ..., f_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × [ ∏ (from i = 1 to t) of (1 + f_i) ]^(−1)

In Abhngigkeit von den Spot rates:
P₀(r₁, ..., r_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r_t)^(−t)

In Abhngigkeit von den Diskontfaktoren:
P₀(b₁, ..., b_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × b_t


- Hieraus wird insb. deutlich, dass der Preis eines Kuponbonds der Summe der Barwerte der Zerobonds, in die er zerlegt werden kann (Bond-Stripping), entspricht.
- Wir schauen uns nun die Methode des Bootstrapping an. 
- Für jede der Restlaufzeiten t=1,...,m liege hierbei ein Kuponbond mit Laufzeit t, Preis P_t und Zahlungsstrom Z= Z_ t1},..,Z_ tt}} vor. 
- Damit besteht das Gleichungssystem
P₁ = Z₁₁ × b₁  
P₂ = Z₂₁ × b₁ + Z₂₂ × b₂  
⋮  
P_t = Z_ t1} × b₁ + Z_ t2} × b₂ + ... + Z_ tt} × b_t  
⋮  
P_m = Z_ m1} × b₁ + Z_ m2} × b₂ + ... + Z_ mt} × b_t + ... + Z_ mm} × b_m

für die Diskontstrukturkurve  b_1,...,b_m}


- Nach rekursivem Auflösen des Gleichungssystems gilt
b₁ = P₁ / Z₁₁  
b₂ = (P₂ − Z₂₁ × b₁) / Z₂₂  
etc.

- So kann die Diskontstruktur direkt aus den Kuponbondpreisen abgeleitet werden (und daraus dann die Zinsstruktur).


Beispiel: Bootstrapping
Gegeben sind drei Kuponbonds mit identischem Nennwert N = 1000, den Restlaufzeiten t = 1, 2 sowie 3, einem 
einheitlichen Kupon von Z = 50 und Marktpreisen P_1 = 999, P_2 = 998 sowie P_3 = 997. Bestimmen Sie die 
Diskontstruktur   b_1, b_2, b_3} sowie die Zinsstruktur   r_1, r_2, r_3}

- Zahlungsströme:

- Bond 1:   -999,1050}
- Bond 2:   -998,50,1050}
- Bond 3:   -997,50,50,1050}

- Bootstrapping-Gleichungssystem:

[(1)] 999 = 1050b_1
[(2)] 998 = 50b_1 + 1050b_2
[(3)] 997 = 50b_1 + 50b_2 + 1050b_3


- Aus (1) folgt b₁ = 999 / 1050 = 0.9514  
  → damit r₁ = (1 / b₁) − 1 = 5.1051%

- Aus (2) folgt b₂ = (998 − 50 × b₁) / 1050 = (998 − 47.57) / 1050 = 950.43 / 1050 = 0.9052  
  → damit r₂ = √(1 / b₂) − 1 = 5.1078%

- Aus (3) folgt schließlich:  
  b₃ = (997 − 50 × b₁ − 50 × b₂) / 1050 = (997 − 47.57 − 45.26) / 1050 = 904.17 / 1050 = 0.8611  
  → damit r₃ = ³√(1 / b₃) − 1 = 5.1106%



\frametitle Erklrung der Zinsstruktur

- Frage: Was bestimmt die Gestalt der Zinsstruktur?
- Mögliche Erklrungen liefern die Erwartungstheorie und die Liquidittstheorie. 



\frametitle Erwartungstheorie

- Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen den heutigen Forward-Zinsstzen/Terminzinsstzen und den Zinsstzen der kommenden Periode. 
- Die Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralitt und besagt, dass eine Investition in eine Reihe von Anleihen mit kurzer Laufzeit im Gleichgewicht die gleiche erwartete Rendite bieten muss wie eine Investition in eine einzelne Anleihe mit langer Laufzeit. 
- Sie besagt, dass der einzige Grund für eine nach oben geneigte Laufzeitstruktur darin besteht, dass die Anleger einen Anstieg der kurzfristigen Zinsstze erwarten.
- Der einzige Grund für eine sinkende Terminstruktur ist, dass die Anleger erwarten, dass die kurzfristigen Zinsstze fallen.  
- Die Erwartungstheorie kann keine vollstndige Erklrung für die Zinsstruktur sein, wenn sich die Anleger Sorgen um das Risiko machen. 


- Begründung durch Arbitrageüberlegungen. Es gilt:
(1 + r_ 0,s})^s × (1 + r̃_ s,t})^(t−s) = (1 + r_ 0,t})^t


- Die Forward-Zinsstze sind bekannt, daraus sollen sich die kommenden Zinsstze erklren lassen. 
- Die Zinsstruktur wird über die Erwartungen über die Entwicklung der kurzfristigen Zinsstze erklrt:

- Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wgt ab zwischen einmaliger Anlage zum Zinssatz r_ 0,t} über t Perioden, und Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinsstzen r_ 0,1}, r̃_ 1,2}, r̃_ 2,3}, ..., r̃_ t−1,t}

– Zinsstze r̃_ 1,2}, r̃_ 2,3}, ..., r̃_ t−1,t} sind im Zeitpunkt 0 unbekannt.
 
- Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralitt --> Kapitalanleger verhlt sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen verbundenen Risiko neutral.  

- Erwartetes EV beider Anlageformen ist (wg. der Risikoneutralitt) gleich groß:
\(1 + r_ 0,t})^t = (1 + r_ 0,1}) × (1 + E[ r̃_ 1,2} ]) × (1 + E[ r̃_ 2,3} ]) × ... × (1 + E[ r̃_ t−1,t} ])

⇒ E[ r̃_ 1,2}^ (1)} ] = r_ 1,2}^ (0)}

– D.h. der erwartete Einjahres-Zinssatz in einem Jahr (E[ r̃_ 1,2}^ (1)}]) entspricht dem heutigen Forward-Zinssatz (r_ 1,2}^ (0)}).

-->ine Prognose, die mit großen Unsicherheiten verbunden ist. 

- Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt definiert die gegenwrtige Zinsstruktur eindeutig die Terminzinsstze. Diese legen die Erwartungswerte der zukünftigen Zinsstze fest.


\frametitle Liquidittsprferenztheorie

- Postuliert, dass Forward-Zinsstze immer über den zukünftigen Zinsstzen liegen. 
- Begründung:

- Anleger/Finanzinvestoren wollen liquide bleiben und bevorzugen daher eher kurze Laufzeiten bei der Anlage. 
--> trotz steigender  Zinsstze finden Kapitalgeber eine lngerfristige Bindung uninteressant. 
- Folge: Anlegern muss für lngere Laufzeiten eine Prmie geboten werden = Zinsstrukturkurve ist ansteigend auch wenn Zinsen in der Zukunft nicht steigen (Zinsstze müssen wg. der Prmie nicht zwingend steigen!).  
- Schuldner bevorzugen dagegen langfristiges Kapital (u.\,a. wegen Planungssicherheit). 

- Insgesamt:

- Überschussangebot an Kapital im kurzfristigen Bereich, weil sich viele Investoren nur kurzfristig binden möchten. 
- Überschussnachfrage an Kapital im langfristigen Bereich; Kapitalnehmer bevorzugen langfristige Finanzierungen. 
- -->um diese Überschüsse zum Ausgleich zu bringen, muss die Zinsstruktur ansteigen. 

- Bei einer flachen Zinsstrukturkurve gbe es ein Überangebot an kurzfristigem und eine Übernachfrage nach langfristigem Kapital. Um das Ungleichgewicht zu beseitigen, müssen die Zinsen am langen Ende steigen. Eine steigende Zinsstrukturkurve stellt sich ein und kann über die Zeit hinweg stabil bleiben.



Kritik

- Investoren, die durch eine Geldanlage Auszahlungen zu spteren Terminen finanzieren wollen. 
- Die aus einer Geldanlage resultierenden zukünftigen Einzahlungen sollten möglichst die geplanten Auszahlungen übersteigen. \\ -->Wichtig, das Risiko (Unsicherheit des Zinssatzes) dieser Einzahlungen zu minimieren. \\
-->Investor, der das Risiko aus den spteren Einzahlungen minimieren will, wird daher bei gleichem erwarteten EV beider Anlagealternativen die langfristige Anlage vorziehen oder eine Risikoprmie für die kurzfristige revolvierende Anlage verlangen. 
- Bei Dominanz dieser Investoren -->inverse ZSK!




\subsection Reale und nominale Zinsstze

- Es gibt verschiedene Indizes, die die realen Preise darstellen. 
- Der bekannteste ist der Consumer Price Index (CPI), der angibt, wie teuer ein typischer Warenkorb einer Familie ist. 
- Über die Differenz des CPI von einem zum nchsten Jahr kann folglich die Inflationsrate bestimmt werden. 

- Inflation im Euro-Raum gemessen am harmonisierten Verbraucherpreisindex (1997 - 2023)

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\frametitle Reale und nominale Zinsstze

- Die Formel für die Umwandlung der nominalen Cash Flows einer zukünftigen Periode t in reale Cash Flows heute lautet 

Realer Cash Flow (in t) = Nominaler Cash Flow (in t) / (1 + Inflationsrate)^t

Formel zur Berechnung der realen Spot Rate r_real:

1 + r_real = (1 + r_nominal) / (1 + Inflationsrate)

- Wie beeinflusst die zukünftige erwartete Inflation den nominalen Zinssatz?
- Fisher's Theorie: Eine Änderung der erwarteten Inflationsrate bewirkt die gleiche proportionale Änderung des nominalen Zinssatzes und hat keinen Effekt auf den realen Zinssatz. 


- Die Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und Treasury Bill Rate. 
- Offensichtlich forderten die Investoren meistens dann einen hohen Zinssatz, wenn auch die Inflationsrate hoch war. 


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\subsection Analyse des Zinsnderungsrisikos


- Wie aus der Darstellung der Entwicklung der Zinsstruktur deutlich wird, unterliegt die Zinsstrukturkurve einer zeitlichen Änderung. Dabei bewirken Zinsnderungen

- eine Änderung des Kurses (Barwert)
- eine Änderung der Reinvestitionsertrge aus den Rückflüssen (Endwert)

- Barwerte (Kurse) und Endwerte (resultierendes Endvermögen) unterliegen somit einem Zinsnderungsrisiko.
- Die Quantifizierung der Zinsstrukturkurve und ihrer zeitlichen Änderungen ist die Voraussetzung für eine Quantifizierung der Auswirkungen des Zinsnderungsrisikos.


- Wir konzentrieren uns dabei auf einen einfachen deterministischen Ansatz und treffen dazu folgende Annahmen:
- Die Zinsstruktur in s=0 sei flach: r_t(0)=r.
- Kauf eines festverzinslichen Titels  Z_1,...,Z_T} zum Kurs (Barwert) P(r)
- Die Zinsnderung besteht in einem einmaligen Übergang in eine flache Zinsstruktur der Höhe r+Δr.
- Der übergang geschieht unmittelbar nach Kauf bzw. in t=0. Man vergleicht also die Änderung des Barwerts bei einer Änderung des Diskontierungsfaktors.

- Um die Auswirkungen einer Zinsnderung r+Δr zu quantifizieren bestimmen wir (approximativ) die hieraus resultierende Barwertnderung ΔP=P(r+Δr)-P(r) sowie die entsprechende Endwertnderung ΔK_T=K_T(r+Δr)-K_T(r). 
- Hierzu analysieren wir zunchst die Eigenschaften der Barwertfunktion bei Annahme einer flachen Zinsstruktur. 
- Es gilt

P(r) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^(−t)

P′(r) = − [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r)^(−t) < 0

P″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0


- Die Barwertfunktion ist somit eine streng monoton fallende und konvexe Funktion. 
- Dies impliziert:

- Bei steigendem Marktzins fllt der Barwert (Kurs).
- Bei fallendem Marktzins steigt der Barwert (Kurs).
- Eine Zinssenkung führt zu einer strkeren Kursvernderung als eine gleich hohe Zinserhöhung.




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- Analog analysieren wir die Endwertfunktion. Es gilt:

K_T(r) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^(T − t)

K_T′(r) = [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of (T − t) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0

K_T″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of (T − t)(T − t − 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0


- Die Endwertfunktion ist somit ebenfalls konvex, jedoch streng monoton steigend. 
- Dies impliziert:

- Bei steigendem Marktzins steigen die Reinvestitionsertrge und damit der Endwert (relative Vermögenssteigerung)
- Bei fallendem Marktzins fallen die Reinvestitionsertrge und damit der Endwert (relative Vermögensminderung)



- Insgesamt wirken Zinsnderungseffekte somit entgegengesetzt auf Bar- und Endwert. 

- Effekt 1: Wenn Zinsstze steigen, sinken Anleihenpreise: Wenn die vorherrschenden Zinsstze steigen, werden Anleihen mit fixen Kuponzahlungen ceteris paribus weniger wertvoll, weil die Kuponzahlungen im Vergleich zum Markt nicht ansteigen (Barwert/Preis sinkt). 
- Effekt 2: Höhere Zinszahlungen ermöglichen bessere Wiederanlagemöglichkeiten für zwischenzeitliche Rückflüsse aus Kuponzahlungen (Endwert steigt). 




Barwert- und Endwertnderung bei einer Zinsnderung
    
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Beispiel:
Anleihe mit EZü e_t

Annahme: flache Zinsstruktur mit k=9%


\begin array r|c|c|c|c
t   & 0 & 1 & 2 &   3 \\ \hline
e_t &   & 9 & 9 & 109 
\end array


PV = 100 
FV = 100 * 1,09^3 = 129,50  


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Annahme: unmittelbare (d. h. in t=0^+) Zinsnderung auf k=10%
⇒ PV = 9 / 1.1 + 9 / 1.1² + 109 / 1.1³ = 97.51  
  (nur Effekt 1 wirksam)

  FV = 97.51 × 1.1³ = 129.79  
  (nur Effekt 2 wirksam)


Für alle Kapitalwerte K_t mit t∈]0,3[ sind beide Effekte wirksam!

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- Ob das Vermögen mit Zinsnderung  dem Vermögen ohne Zinsnderung ist, hngt davon ab, welcher ZP untersucht wird! 
- Es gibt einen ZP D, bei dem das Vermögen mit Zinsnderung gleich dem Vermögen ohne Zinsnderung ist, d.\,h. im ZP D besteht kein Zinsnderungsrisiko! 
- Man sagt: Im ZP D ist das (End-)Vermögen gegenüber Zinsnderungen immunisiert. 
- Man kann sogar zeigen, dass das Vermögen ohne Zinsnderungen im ZP D ein Minimum hat, d.\,h., dass jede Zinsnderung (pos. oder neg.) zu einem Vermögenszuwachs führt.
- Dazu schauen wir uns im folgenden das Konzept der Duration an. 



Die Duration

- Im Rahmen einer Analyse des Zinsnderungsrisikos wenden wir uns nun einer Reihe von (eng verwandten) Kennziffern zur Zinssensitivitt des Barwerts zu. 
- Wir beginnen mit der absoluten Duration, definiert durch
D_A(r) = −P′(r) = [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r)^(−t)

- Diese entspricht somit der ersten Ableitung der Barwertfunktion, jedoch mit negativem Vorzeichen. Da P'(r)<0, folgt D_A(r)>0.
- Aus geometrischer Sicht wird unter Verwendung der ersten Ableitung der Barwertfunktion die Änderung der Barwertfunktion linear approximiert durch die entsprechende Änderung des Funktionswerts der Tangente an die Barwertkurve. 

Absolute Duration als lin. Approximation der Barwertkurve

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- Aus analytischer Sicht ist die absolute Duration ein approximatives Maßfür die absolute Kursnderung bei absoluter Zinsnderung, denn es gilt entsprechend zur geometrischen Darstellung

ΔP(r) ≈ −D_A(r) × Δr

- Je höher die Duration, desto größer das Zinsnderungsrisiko im Sinne einer Barwertnderung. 
- Die Höhe der Duration hngt dabei wiederum von dem Ausgangsrenditenniveau r ab.
- Die lineare Approximation der Barwertkurve unterliegt einem Approximationsfehler, der umso größer ist,

- je größer Δr
- je gekrümmter die Barwertkurve r ist.


- Der Effekt steigender Zinsen (Kursverlust) wird somit überschtzt, der Effekt fallender Zinsen (Kursanstieg) hingegen unterschtzt.
- Aus der absoluten Duration lassen sich weitere Durationsmaße ableiten. 
- Die modifizierte Duration (Modified Duration), definiert durch
D_M(r) ≔ D_A(r) / P(r) = [1 / (1 + r)] × ( Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ) / P(r)

ist ein approximatives Maßfür die relative Kursnderung bei absoluter Zinsnderung.
- Es gilt
\ΔP(r) / P(r) ≈ −D_M(r) × Δr

- Die Macaulay-Duration (oft nur als Duration bezeichnet) ist definiert durch
D(r) = (1 + r) × D_M(r) = [ Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r)


- Sie ergibt sich aus der zeitgewichteten Summe der diskontierten Zahlungen dividiert durch den Barwert der Anleihe und kann auch als das gewichtete Mittel der Flligkeitszeitpunkte der einzelnen Zahlungen interpretiert werden. 
- Die Duration gibt somit die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer an. 
- Ihre Einheit entspricht dabei der gewhlten Zeiteinheit (i.d.R. Jahre).
- Als ΔP(r) bzw. D(r) entsprechende Approximation erhlt man
ΔP(r) / P(r) ≈ − [ (1 + r + Δr) − (1 + r) ] / (1 + r) × D(r) = − (Δr / (1 + r)) × D(r)

- Die Macaulay-Duration ist somit ein Maßfür die relative Kursnderung bei relativer Änderung des Aufzinsungsfaktors.



Beispiel: Duration eines Standardbonds

Wir betrachten einen Standardbond mit einer Laufzeit von 4 Jahren, einem Nennwert von 1000 Euro sowie einem Nominalzins von 6%. Zu bestimmen ist die Duration des Bonds, wenn der anfngliche Zinssatz 4% betrgt. Der Zahlungsstrom des Bonds ist zunächst gegeben durch {60, 60, 60, 1060}


Es gilt im Einzelnen

60 / 1.04        =   57.692  
60 / 1.04²       =   55.473     → 2 × (60 / 1.04²) = 110.946  
60 / 1.04³       =   53.340     → 3 × (60 / 1.04³) = 160.020  
1060 / 1.04⁴     =  906.092     → 4 × (1060 / 1.04⁴) = 3624.37


Als Macaulay-Duration ergibt sich nach diesen Vorüberlegungen 

D = (57.692+110.946+160.020+3624.37)/(57.692+55.473+53.340+906.092)= 3953.028/1072.597 = 3.6855

Die Duration des Bonds beträgt somit 3.6855 Jahre.


Beispiel: Duration eines Zerobonds

Betrachtet man einen Zerobond mit Laufzeit T, so erhlt man durch Auswertung der von Gleichung Macaulay das Resultat D(r) = T. Bei einem Zerobond stimmt somit die Duration stets mit seiner Laufzeit überein.


	- Die Duration eines Zerobonds mit Laufzeit T beinhaltet gleichzeitig die maximale Duration aller Bonds mit gleicher Laufzeit, denn es gilt
[ Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r) ≤ [ T × Σ Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r) = T


- Die Duration hngt nicht nur vom anfnglichen Zinsniveau, sondern auch von der Restlaufzeit und Kuponhöhe ab.
- Abschließend zum Thema Duration betrachten wir noch die Portfolioduration. 
- Diese berechnet sich als die gewichtete Summe der Durationen der einzelnen Titel. 
- Es seien X=\ X_1,...,X_T\ und Z=\ Z_1,...,Z_T\ zwei Zahlungsreihen. 
- Dann gilt insbesondere
\D_{X+Z} = [ P_X / (P_X + P_Z) ] × D_X + [ P_Z / (P_X + P_Z) ] × D_Z

– Für die Portfolioduration gilt allgemein analog:

D_P = Σ (from i = 1 to n) of x_i × D_i

wobei x_i=P_i/P dem Barwert von Titel i bezogen auf den Gesamtwert des Portfolios entspricht.


- Der in der vorherigen Abbildung veranschaulichte Approximationsfehler bei der Quantifizierung der durch eine Zinsnderung induzierte Barwertnderung lsst sich durch Einbeziehung der Konvexitt verringern.
- Theoretischer Ausgangspunkt ist dabei die Taylor-Entwicklung einer Funktion f im Punkt x_0. Durch den Abbruch der Taylorreihe erst nach dem zweiten Glied wird die lineare Approximation verbessert, konkret
ΔP = P′(r) × Δr + (1 / 2) × P″(r) × (Δr)²  
   = −D_A(r) × Δr + (1 / 2) × C_A(r) × (Δr)²


- Dabei ist die absolute Konvexitt gegeben durch die zweite Ableitung der Barwertfunktion

C_A(r) = P″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t)


\frametitle Konvexität

- Der Betrag 1/2*C_A(r)(Δr)^2 erfasst dabei die absolute Kursnderung aufgrund des quadratischen Anteils der Krümmung der Barwertkurve.
- Eine Division von ΔP durch P ergibt die Approximation
ΔP / P ≈ −D_M × Δr + (1 / 2) × C(r) × (Δr)²

wobei die Konvexität C(r) definiert ist durch:

C(r) = P″(r) / P = [ Σ t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / [ (1 + r)² × Σ Z_t × (1 + r)^(−t) ]


\frametitle Zinsnderungsimmunisierung

- Zuvor wurden die gegenlufigen Wirkungen einer Zinsnderung bzgl. Barwert und Endwert eines Bonds veranschaulicht. Ist es in bestimmten Konstellationen möglich, die anfngliche (vor Eintritt der Zinsnderung) Wertentwicklung trotz einer eingetretenen Zinsnderung sicherzustellen?
- Dazu betrachten wir zunchst den Wert eines durch die Rückflüsse {Z_1,...,Z_T} charakterisierten,  festverzinslichen Titels zu einem beliebigen Zeitpunkt 0 < s < T unter dem anfnglichen Zins r_0. 
- Hierbei gilt
\K_s(r₀) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r₀)^(s − t)

Bei sofortiger einmaliger Zinsänderung r + Δr in t = 0 ergibt sich für den Barwert zum Zeitpunkt s:

K_s(r₀ + Δr) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r₀ + Δr)^(s − t)

Ist es zu einem Zeitpunkt s möglich, dass für Zinsänderungen eines bestimmten Ausmaßes Δr stets gilt:

K_s(r₀ + Δr) ≥ K_s(r₀) ?

gilt?
- In einem solchen Fall wre gewhrleistet, dass - zumindest in diesem Zeitpunkt und für Änderungen des anfnglichen Zinssatzes in einem bestimmten Umfang---der Wert des Bonds zum Zeitpunkt s trotz Zinsnderung nicht geringer ist als unter dem anfnglich geltenden Zins. 
- Die Erfüllung der obigen Ungleichung luft auf die Frage der Existenz eines lokalen oder sogar globalen Minimums hinaus.
- Die Antwort ist dabei positiv und sie lautet

	s = D(r_0)

- Wenn wir einen Zeitpunkt whlen, welcher der Duration zum anfnglichen Zins entspricht, so besitzt die Wertfunktion K_s=K_D ein Minimum im Punkt r_0 und die obige Ungleichung ist erfüllt.
- Im Folgenden wollen wir den Nachweis der Eigenschaft eines lokalen Minimums erbringen. Allgemein gilt
K_s(r) =Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^ (s − t)  

sowie  

K′_s(r) = (1 + r)^(s − 1) × Σ (from t = 1 to T) of (s − t) × Z_t × (1 + r)^(−t)

Damit folgt:

 0 = K′_s(r₀)  
  = s × (1 + r₀)^(s − 1) × Σ Z_t × (1 + r₀)^(−t)  
  − (1 + r₀)^(s − 1) × Σ t × Z_t × (1 + r₀)^(−t)

  = s × (1 + r₀)^(s − 1) × P(r₀) − (1 + r₀)^(s − 1) × Σ t × Z_t × (1 + r₀)^(−t)


- Insgesamt folgt
s = [ Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r₀)^(−t) ] / P(r₀) = D(r₀)

d.h. die Eigenschaft eines lokalen Minimums ist nachgewiesen.
- Allgemeiner lsst sich zeigen, dass sogar ein globales Minimum vorliegt, d.h. die obige Ungleichung gilt sogar für zugelassene Zinsänderungen in beliebiger Höhe.

- Weiterhin bedeutet die Ungleichung, dass sptestens bis zum Zeitpunkt s=D(r_0) ein anfnglicher Kursverlust infolge steigender Zinsen durch die verbesserten Reinvestitionsmöglichkeiten zumindest kompensiert, ggf. sogar überkompensiert worden ist.
- Zu beachten ist, dass die Aussage nicht K_s(r_0+ Δr)=K_s(r_0) lautet, d.h. die Zinsnderungen werden nicht notwendigerweise alle im gleichen Zeitpunkt kompensiert, sondern jede Zinsnderung besitzt in der Regel einen eigenen Kompensationszeitpunkt.
- Sicher ist aber, dass im Zeitpunkt s die Wertentwicklung gleich der unteren Grenze K_s(r_0) ist oder darüber liegt. 
- Fasst man den Wert K_s(r_0) als Untergrenze eines (nach oben unbegrenzten) Fensters auf, das sich den Zeitpunkt der Duration befindet, so erhlt man das sogenannte Durationsfenster (Duration Window).



 Durationsfenster

    BILD

- Die zentrale Annahme bei den vorherigen Analysen ist die einer flachen Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfnglichen deterministischen Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf.
- Mehrfache Änderungen sind kein Problem, da man nach jeder erfolgten Zinsnderungen entsprechende Anpassungen vornehmen kann. 
- Bezüglich der Annahme einer flachen Zinsstruktur gibt es inzwischen eine Reihe von Erweiterungen wie die Single-Faktor-Durationsmodelle, Faktormodelle der Zinsstruktur sowie die Key-Rate-Duration.
- Ein weiteres Problem des Durationsansatzes ist, dass traditionelle Durationskonzepte Zinsnderungsrisiken nicht mehr erfassen können, wenn die Höhe der Zinszahlungen selbst von Zinsnderungen beeinflusst wird wie bei zinssensitiven Produkten oder Bonds mit eingebetteten Optionen. Hier können optionsadjustierte Durationsmaße angewandt werden.
- Insgesamt können wir festhalten, dass das einfache Durationsmaßein sehr nützliches Konzept im Sinne einer ersten Approximation für die Analyse des Außmaßes des Zinsnderungsrisikos und einer darauf aufbauenden Portfoliosteuerung darstellt.
- Es unterliegt jedoch einer Reihe von Beschrnkungen und liefert nur approximative Ergebnisse. 
- Daher kommt es vor allem auf den spezifischen Anwendungszweck an, ob mit diesem Ansatz oder verfeinerten Analysen gearbeitet wird. 


\frametitle Zusammenfassung und Ausblick

- Heute haben wir uns mit der Theorie der Zinsstruktur beschftigt. 
- Wir haben über Zinsnderungen gesprochen und über die Möglichkeit, sich dagegen abzusichern (Duration).