main3.tex

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%----------------------------

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{ 
	\vskip10pt%
}

\title[Finanzm{\"a}rkte]{Finanzm{\"a}rkte}
\subtitle{}
\author[Matthias Pelster]{Prof. Dr. Matthias Pelster}
\institute[Universit{\"a}t Duisburg-Essen]{Mercator School of Management, Universit{\"a}t Duisburg-Essen} 
\date{}
\titlegraphic{\includegraphics[height=1.2cm]{logo.png}}
\subject{Finanzm{\"a}rkte}
\keywords{Finanzm{\"a}rkte}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{exm}{Beispiel}

%Erwartungswert und Varianz
\newcommand{\E}{\mbox{E}}
\DeclareMathOperator{\var}{var}
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\DeclareMathOperator{\cor}{corr}
%\DeclareMathOperator{\Pr}{Pr}
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\begin{document}
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\titlepage
\end{frame}

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\renewcommand{\thetable}{\arabic{table}}
\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}}


\begin{frame}
\frametitle{{\"U}berblick}
\begin{itemize}
\item Heute besch{\"a}ftigen wir uns (zun{\"a}chst) mit der Bewertung von \textbf{\textcolor{uniblau}{Anlagealternativen unter Risiko}}. 
\item Im weiteren Verlauf der heutigen Vorlesung werden wir dann die \textbf{\textcolor{uniblau}{Kombination von verschieden Anlagealternativen}} zu \textbf{\textcolor{uniblau}{Portfolios}} diskutieren. 
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Investitionsbewertung unter Unsicherheit}
\begin{frame}
\begin{center}
\Huge{\textcolor{uniblau}{Investitionsbewertung unter Unsicherheit}}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Ber{\"u}cksichtigung von Unsicherheit}
\begin{itemize}
\item Im Rahmen der \textcolor{uniblau}{\textbf{Investitionsbewertung unter Unsicherheit}} ist es regelm{\"a}{\ss}ig erforderlich, \textcolor{uniblau}{\textbf{Risiken innerhalb der Barwertberechnung}} zu \textcolor{uniblau}{\textbf{ber{\"u}cksichtigen}}. 
\item Dies gelingt {\"u}ber \textcolor{uniblau}{\textbf{drei unterschiedliche Ans{\"a}tze}}:

\begin{itemize}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Wahl eines Diskontierungszinses, der das Risiko ad{\"a}quat abbildet}} (z.B. LIBOR; EURIBOR; EONIA bei Finanzinvestitionen)
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikozuschlag auf den risikolosen Kapitalmarkt- oder Wertpapierzinssatz}}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten anstatt unsicherer Cash Flows}} (bei unver{\"a}ndertem Kalkulationszins)
\end{itemize}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Wichtig: Alle Ans{\"a}tze}} betrachten keine sicheren Cash Flows mehr, sondern den \textcolor{uniblau}{\textbf{Erwartungswert unsicherer Cash Flows}}. 
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Exkurs: Statistische Operatoren}
\begin{itemize}
\item Der \textcolor{uniblau}{\textbf{Erwartungswert}} und die \textcolor{uniblau}{\textbf{h{\"o}heren Momente}} einer Wahrscheinlichkeitsverteilung erlauben uns, die Verteilung auf einfach quantifizierbare und vergleichbare Kennzahlen herunterzubrechen. 
\item Betrachten wir als Motivation einmal eine Investition in Aktien. 
\begin{itemize}
\item Aufgrund der unsicheren Zukunftsentwicklungen ist das zuk{\"u}nftige Endverm{\"o}gen eine Zufallsvariable. 
\item Das Endverm{\"o}gen h{\"a}ngt ab von
\begin{itemize}
\item der gew{\"a}hlten Alternative ($\rightarrow$ beeinflussbar) und 
\item dem eingetretenem Zustand der Natur / Umweltzustand ($\rightarrow$ nicht beeinflussbar). 
\end{itemize}
\end{itemize}

\framebreak

\item Wir treffen die folgenden Annahmen: 
\begin{itemize}
\item 2 Zeitpunkte: $t=0$ und $t=1$
\item Zustandsbezogene Betrachtungsweise: 
\begin{itemize}
\item Zust{\"a}nde m{\"u}ssen unabh{\"a}ngig von der gew{\"a}hlten Alternative definiert sein. 
\item Zust{\"a}nde sind bekannt mit endlicher Anzahl. 
\item diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 
\item den Zust{\"a}nden k{\"o}nnen subjektive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. 
\end{itemize}
\item Grunds{\"a}tzlich unterscheiden wir zwischen \textcolor{uniblau}{\textbf{Entscheidungen unter Risiko}} und \textcolor{uniblau}{\textbf{Entscheidungen unter Unsicherheit}}. 
\begin{itemize}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Entscheidungen unter Risiko}}: Subjektive Wahrscheinlichkeit vorhanden. 
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Entscheidungen unter Unsicherheit}}: Unbekannte Wahrscheinlichkeit. 
\end{itemize}
\end{itemize}

\framebreak

\item Daraus ergibt sich eine \textcolor{uniblau}{\textbf{Ergebnismatrix}} in $t=1$: \\[0.5cm]

\begin{tabular}{c|cccc}
Eintrittsw'keiten $\sum 1$ & $w_1$ & $w_2$ & $\cdots$ & $w_n$ \\[1ex]
Zust{\"a}nde & $S_1$ & $S_2$ & $\cdots$ & $S_n$ \\ \cline{1-1}
Alternativen & & & & \\ \hline
$a_1$ & $E_{11}$ & $E_{12}$ & $\cdots$ & $E_{1n}$ \\[1ex]
$a_2$ & $E_{21}$ & $E_{22}$ & $\cdots$ & $E_{2n}$ \\[1ex]
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ & $\vdots$ \\[1ex]
$a_m$ & $E_{m1}$ & $E_{m2}$ & $\cdots$ & $E_{mn}$ \\
\end{tabular}

\framebreak

\item In einer alternativen Darstellung k{\"o}nnen wir die verschiedenen Ergebnisse auch {\"u}ber ein \textcolor{uniblau}{\textbf{Baumdiagramm}} darstellen. 

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(200,100)
\put(100,80){\line(-1,-1){60}}
\put(100,80){\line(-1,-2){30}}
\put(100,80){\line(1,-2){30}}
\put(100,80){\line(1,-1){60}}
\put(30,0){$E_{11}$}
\put(60,0){$E_{12}$}
\put(160,0){$E_{1n}$}
\put(135,20){\tiny $\dots$}
\put(100,0){ $\dots\dots$}
\put(95,90){$a_{1}$}
\end{picture}
\end{figure}

\framebreak

\begin{figure}[h]
\begin{adjustbox}{width=0.85\textwidth,center}
\begin{picture}(320,120)
\put(70,80){\line(-1,-1){60}}
\put(70,80){\line(0,-1){65}}
\put(70,80){\line(1,-1){60}}
\put(0,0){80}
\put(60,0){120}
\put(130,0){160}
\put(25,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(60,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(105,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(60,90){-100}
\put(55,110){Aktie}
\put(220,110){Anleihe}
\put(250,80){\line(-1,-1){60}}
\put(250,80){\line(0,-1){65}}
\put(250,80){\line(1,-1){60}}
\put(180,0){120}
\put(240,0){120}
\put(310,0){120}
\put(205,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(240,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(285,50){\small $\frac{1}{3}$}
\put(240,90){-100}
\end{picture}
\end{adjustbox}
\end{figure}

\framebreak

\item Unser Ziel ist nun eine \textcolor{uniblau}{\textbf{Auswahl zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}. 
\item Diese Auswahl basieren wir auf oben angesprochenen Kennzahlen der Verteilung, den sog. Momenten. 
\item M{\"o}gliche Kennzahlen in diesem Kontext sind: 
\begin{itemize}
\item Erwartungswert
\item Varianz/Standardabweichung
\item Kovarianz/Korrelationskoeffizient
\end{itemize}
\end{itemize}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Schauen wir auf ein Beispiel. 
\item Die folgende Tabelle zeigt uns in $t=1$ Aktienwerte in Euro. \\
\vspace{0.2cm}

\begin{tabular}{c|cccccl}
Zustand & $S_1$ & $S_2$ & $S_3$ & $S_4$ &  \\ \hline
Eintrittsw'keit & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,2 &  \\ \hline
Aktie I & 150 & 170 & 180 & 200 &  \\ [1ex]
Aktie II & 280 & 300 & 270 & 290 &  \\ [1ex]
Aktie III & 100 & 100 & 100 & 100 &  \\ [1ex]
\end{tabular}

\item Die Preise / Kurse der Aktien in $t=0$ betragen: 
\begin{itemize}
\item Aktie I: 125 \euro \\
\item Aktie II: 250 \euro \\
\item Aktie III: 90 \euro \\
\end{itemize}

\framebreak

\item Dann ergibt sich der \textcolor{uniblau}{\textbf{Erwartungswert}}: 

\begin{eqnarray*}
\E[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j E_{ij} \\[1ex]
\E[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150 + 0,3\cdot 170 + 0,4\cdot 180 + 0,2\cdot 200 = \underline{178 \text{ \euro}} \\[1ex]
\E[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{284 \text{ \euro}} \\[1ex]
\E[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{100 \text{ \euro}}
\end{eqnarray*}

\framebreak

\item Die \textcolor{uniblau}{\textbf{Varianz}}: 

\begin{eqnarray*}
\var[\tilde{E}_i] & = & \sum_{j=1}^n w_j \left( E_{ij}-\E[\tilde{E}_i]\right)^2 \\[1ex]
\var[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot (150-178)^2 + 0,3\cdot (170-178)^2 \\
 & + & 0,4\cdot (180-178)^2 + 0,2\cdot (200-178)^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
\var[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{164 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
\var[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
\end{eqnarray*}


\framebreak

\item Oder, alternativ: 

\begin{eqnarray*}
\var[\tilde{E}_i] & = & \underbrace{\sum_{j=1}^n w_j E_{ij}^2}_{\E[\tilde{E}_i^2]}-\E[\tilde{E}_i]^2 \\[1ex]
\var[\tilde{P}_1^{I}] & = & 0,1\cdot 150^2 + 0,3\cdot 170^2 \\
 &+& 0,4\cdot 180^2 + 0,2\cdot 200^2 -178^2 = \underline{196 \text{ \euro}^2} \\
. . . & & 
\end{eqnarray*}

\framebreak

\item Die \textcolor{uniblau}{\textbf{Standardabweichung}}: 

\begin{eqnarray*}
\sigma[\tilde{E}_i] & = & \sqrt{\var[\tilde{E}_i]} \\[1ex]
\sigma[\tilde{P}_1^{I}] & = & \sqrt{196} = \underline{14 \text{ \euro}} \\[1ex]
\sigma[\tilde{P}_1^{II}] & = & \underline{12,8062 \text{ \euro}} \\[1ex]
\sigma[\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}}
\end{eqnarray*}

\framebreak

\item Die \textcolor{uniblau}{\textbf{Kovarianz}}:
\begin{eqnarray*}
\cov[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \sum_{j=1}^n w_j (E_{ij}-\E[\tilde{E}_i]) (E_{kj}-\E[\tilde{E}_k]) \\[1ex]
\cov[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & 0,1 (150-178)\cdot (280-284)\\
 & + & 0,3 (170-178)\cdot (300-284) \\
 & + & 0,4 (180-178)\cdot (270-284) \\
 & + & 0,2 (200-178)\cdot (290-284) = \underline{-12 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
\cov[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2} \\[1ex]
\cov[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0 \text{ \euro}^2}
\end{eqnarray*}

\framebreak

\item Und der \textcolor{uniblau}{\textbf{Korrelationskoeffizient}}: 

\begin{eqnarray*}
\rho[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k] & = & \frac{\cov[\tilde{E}_i,\tilde{E}_k]}{\sigma[\tilde{E}_i]\cdot \sigma[\tilde{E}_k]} \quad \left(\rho \in [-1;1]\right) \\[1ex]
\rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{II}] & = & \frac{-12 \text{\euro}^2}{14\text{\euro}\cdot 12,8062\text{\euro}} = \underline{-0,0669} \\[1ex]
\rho[\tilde{P}_1^{I},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0} \\[1ex]
\rho[\tilde{P}_1^{II},\tilde{P}_1^{III}] & = & \underline{0}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{frame}



%############################################## Bernoulli %###########################################

\section{Das Bernoulli-Prinzip}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Wie entscheiden unter Risiko?} 
Wie soll ein bestimmtes (Anfangs-)Verm{\"o}gen $W_0$ auf Wertpapiere/Investitionsalternativen aufgeteilt werden? 

\vspace{0.5cm}

\begin{tabular}{lp{10cm}}
\textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheit:}} & Investition in das WP, welches das h{\"o}chste EV erzielt.\\[1ex]
\textcolor{uniblau}{\textbf{Risiko:}} & Zun{\"a}chst keine Entscheidung m{\"o}glich.\\
\end{tabular}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{figures/PF1.pdf}
\end{center}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erzielen WP A und WP B eine bestimmte Rendite. Aber welches WP ist zu w{\"a}hlen?
\item Auch m{\"o}glich: Portfoliobildung (dazu gleich mehr). 
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{figures/PF2.pdf}
\end{center}

\begin{itemize}
\item D.\,h. f{\"u}r unterschiedliche $(x_A,x_B)$-Kombinationen bekommt man unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Portfoliorendite (stochastisch).
\end{itemize}
\end{frame}


%############################################## Decision making 

\begin{frame}\frametitle{Klassische Entscheidungsgrunds{\"a}tze}~\\
\textcolor{uniblau}{\textbf{Die Grundidee:}} Berechnen Sie die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Pr{\"a}ferenzwerte zu bestimmen. \\

\begin{tabbing}
\textcolor{uniblau}{\textbf{1. Moment:}} 
\end{tabbing}
\begin{itemize}
    \item Rendite \ $\widehat{=}$ Erwartungswert $\mu$
    \item W{\"a}hlen Sie die Alternativen mit dem h{\"o}chsten erwarteten Wert.
    \item Entscheidungsregel (formal): \qquad $\E[\tilde V_i] > \E[\tilde V_k] \Rightarrow V_i \succ V_k$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Klassische Entscheidungsgrunds{\"a}tze}~\\
\textcolor{uniblau}{\textbf{Beispiel}}\\[7pt]
Aktie: $\E[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80+120+160)=$ 120\EUR{}.\\
\vspace{0.2cm}
Staatsanleihe: $\E[\tilde V^{BA}]=$ 120\EUR{}.\\
\vspace{0.4cm}
Eine ausschlie{\ss}lich auf Erwartungswerten basierende Entscheidungsfindung ist f{\"u}r risikoscheue oder risikofreudige Anleger nicht geeignet, da die Unsicherheit von Aktien nicht ber{\"u}cksichtigt wird. \\
$\Rightarrow$ mindestens eine Kennzahl zur Risikomessung ist erforderlich.
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Klassische Entscheidungsgrunds{\"a}tze}~\\
\vspace{-0.3cm}
\begin{tabbing}
\textcolor{uniblau}{\textbf{2. Moment}} 
\end{tabbing}
\begin{itemize}
    \item Risikoma{\ss} \ $\stackrel{\wedge}{=}$ Standardabweichung $\sigma$ oder Varianz $\sigma^2$
    \item Definiert $\Phi(\E[\tilde V_i],\var[\tilde V_i])$ den
     \vspace{0.1cm}
    \begin{itemize}
        \item Erwartungswert und variationsabh{\"a}ngiger Pr{\"a}ferenzwert, \\ \vspace{0.1cm}
        \item f{\"u}hrt dies zu der folgenden (formalen) Entscheidungsregel: \\ \vspace{0.1cm}
        \item $\Phi(\E[\tilde V_i],\var[\tilde V_i]) > \Phi(\E[\tilde V_k],\var[\tilde V_k]) \Rightarrow V_i \succ V_k$
    \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Beachten Sie, dass neben der Standardabweichung oder Varianz mehrere andere Risikofaktoren m{\"o}glich sind: Schiefe, Kurtosis, Value at Risk, erwarteter Ausfall, ... 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Klassische Entscheidungsgrunds{\"a}tze}~\\
\textcolor{uniblau}{\textbf{Beispiel}} \\[7pt]
\begin{tabbing}
\textcolor{uniblau}{\textbf{Aktie:}} \= $\var[\tilde V^A]=\frac{1}{3} (80-120)^2+\frac{1}{3} (120-120)^2+\frac{1}{3} (160-120)^2$\\[7pt]
\>  $=\text{1.066,62\EUR{}}^2.$\\[7pt]
\>  $\sigma[\tilde V^A]=$ 32.66\EUR{}\\[7pt]
\end{tabbing}
\textcolor{uniblau}{\textbf{Staatsanleihe:}} $\var[\tilde V^{BA}]=0=\sigma[\tilde V^{BA}]$.
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Das $(\mu,\sigma)$-Prinzip}~\\
Das $(\mu,\sigma)$-Prinzip setzt eine Entscheidungsfindung auf der Grundlage von $\mu$ und $\sigma$ voraus. 

\begin{tabbing}
Beispiel: \= \textcolor{uniblau}{\textbf{Pr{\"a}ferenzfunktion}} des Investors: $\Phi=\mu-\frac{1}{5}\sigma^2$\\
\> \textcolor{uniblau}{\textbf{Aktie:}} $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 1.066,67=-93,33$\\
\> \textcolor{uniblau}{\textbf{Staatsanleihe:}} $\Phi=120-\frac{1}{5}\cdot 0=120$\\
\> $\Rightarrow$ W{\"a}hle die Staatsanleihe!
\end{tabbing}

$\rightarrow$ Unter der Annahme, dass zwei Projekte den gleichen Erwartungswert haben, entscheiden sich risikoscheue Investoren immer f{\"u}r das weniger riskante Projekt.  
\end{frame}



\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Das Bernoulli-Prinzip}
\begin{itemize}
\item Unter Anwendung des \textbf{\textcolor{uniblau}{Bernoulli-Prinzips}} versuchen wir, den erwarteten Nutzen zu maximieren. 
$$\E[U(\tilde{r_{PF}})]\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$$ 

\item $\Rightarrow$ Die Entscheidungsfindung unter Risiko wird gel{\"o}st durch: 
\begin{itemize}
\item[(1)] Zustandsabh{\"a}ngige Ergebnisse $V_{ij}$ jeder Alternative kombiniert mit einer Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ ergeben einen zustandsabh{\"a}ngigen Nutzenwert $U(V_{ij})$.\\[7pt]
\item[(2)] Bestimmen Sie die Erwartungswerte des Nutzens f{\"u}r jede Alternative $i$:
\begin{equation*}
\E[U(\tilde V_i)] = \sum_{j=1}^n p_j \cdot U(V_{ij}).
\end{equation*}
\item[(3)] Die Entscheidungsfindung ber{\"u}cksichtigt alle relevanten Erwartungswerte des Nutzens. Zwei Alternativen, $i$ und $k$:
\begin{equation*}
\E[U(\tilde V_i)] > \E[U(\tilde V_k)] \Rightarrow V_i \succ V_k.
\end{equation*}
{\glqq}\textbf{\textcolor{uniblau}{Erwartungsnutzen-Maximierung}}{\grqq}
\end{itemize}

\framebreak

\item Annahme: \textcolor{uniblau}{\textbf{\glqq Axiome des rationalen Verhaltens\grqq}}: Das Bernoulli-Prinzip geht von rationalem Verhalten aus.\\[7pt]
\textcolor{uniblau}{\textbf{Anmerkung:}} Unter dieser Annahme gibt es eine Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ f{\"u}r zwei zuf{\"a}llige Wahrscheinlichkeitsverteilungen $w_1$ und $w_2$:
\begin{align*}
w_1 > w_2 & \Leftrightarrow \E_{w_1}[U(\tilde V)]>\E_{w_2}[U(\tilde V)]\\
w_1 \sim w_2 & \Leftrightarrow \E_{w_1}[U(\tilde V)]=\E_{w_2}[U(\tilde V)]
\end{align*}
Die Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ ist eindeutig (au{\ss}er bei positiver linearer Transformation).

\framebreak

\item Das Bernoulli-Prinzip ber{\"u}cksichtigt die Pr{\"a}ferenzen der Anleger in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung. 
\item Zielsetzung: Rangfolge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Projekte) auf der Grundlage ihres Erwartungswerts des Nutzens.
\end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
\frametitle{Anwendung des Bernoulli-Prinzips}
Wir betrachten die Nutzenfunktion $U(V)=1000\cdot V-V^2$ und berechnen den erwarteten Nutzen der Investition in Aktien und Staatsanleihen. Wir beginnen mit der Aktie: \\[7pt]
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
Zustand & 1 & 2 & 3\\ \hline
p & $\frac{1}{3}$& $\frac{1}{3}$& $\frac{1}{3}$\\
V & 80 & 120 & 160\\
U(V) & 73.600 & 105.600 & 134.400\\
\end{tabular}~\\[7pt]
\end{center}
\vspace{0.2cm}
$\E[U(\tilde V)]=\frac{1}{3}\cdot 73.600+\frac{1}{3}\cdot 105.600+\frac{1}{3}\cdot 134.400=104.533,\bar{3}$\\
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Beispiel fortgesetzt}~\\
Nun wenden wir uns den Staatsanleihen zu: \\[7pt]
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
Zustand & 1 & 2 & 3\\ \hline
p & $\frac{1}{3}$& $\frac{1}{3}$& $\frac{1}{3}$\\
V & 120 & 120 & 120\\
U(V) & 105.600 & 105.600 & 105.600\\
\end{tabular}~\\[7pt]
\end{center}
\vspace{0.1cm}
$\E[U(\tilde V)]=\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 105.600 = 105.600$\\~\\[7pt]
Da die Staatsanleihen einen h{\"o}heren erwarteten Nutzen bietet als die Aktie, wird sich ein Anleger mit der entsprechenden Nutzenfunktion f{\"u}r die Staatsanleihen entscheiden.

\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Wer wird Million{\"a}r?}
\begin{exm}[Wer wird Million{\"a}r?]
Stellen Sie sich die folgende Situation vor: Sie sind in der Show mit G{\"u}nther Jauch und stehen vor der Millionen-Euro-Frage. Sie haben bereits den 50 : 50-Joker eingesetzt, so dass zwei Antworten m{\"o}glich sind. Ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten f{\"u}r die m{\"o}glichen Antworten sind $.6$ f{\"u}r Antwort $A$ und $.4$ f{\"u}r Antwort $B$. 
Erinnern Sie sich, dass Sie mit der richtigen Antwort 1 Mio. \euro{} gewinnen, w{\"a}hrend Sie mit der falschen Antwort nur 16.000\euro{} gewinnen. Wenn Sie die Frage nicht beantworten, gewinnen Sie 500.000\euro{}. 
Beantworten Sie die Frage?  
\end{exm}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Wer wird Million{\"a}r?}
\begin{exm}[Erwartungsnutzentheorie]
\begin{itemize}
\item Sie maximieren einen einfachen exponentiellen Nutzen gem{\"a}{\ss} der Funktion $u(c) = -\frac{e^{-ac}}{a}$, wobei $a$ Ihre konstante absolute Risikoaversion bezeichnet, $a=.15$. 
\item Berechnen Sie den Nutzen einer Nichtbeantwortung der Frage: $u(500) = -\frac{e^{-.15 \cdot 500}}{.15} = - 1.786$. 
\item Berechnen wir nun den Nutzen einer Antwort: $u = .4 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 16}}{.15}) + .6 \cdot (-\frac{e^{-.15 \cdot 1000}}{.15}) = -.242$. 
\item Bei dieser Nutzenfunktion und dem Grad der Risikoaversion sollten Sie also antworten! 
\end{itemize}
\end{exm}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Risikobereitschaft}
Die Nutzenfunktion zeigt die Einstellung des Anlegers zum Risiko. Wir unterscheiden zwischen drei Risikohaltungen: 
\begin{itemize}
\item risikoavers, 
\item risikoneutral, 
\item risikofreudig.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Risikobereitschaft}~\\
Betrachten Sie eine risikofreie Anlage (z.B. Staatsanleihe) $w_1$ und eine risikoreiche Anlage (z.B. Aktie) $w_2$ mit demselben Erwartungswert 
\begin{equation*}
\E[\tilde V^{BA}]=120=\frac{1}{3}(80+120+160)=\E[\tilde V^A].
\end{equation*}
Dann wird die Risikoeinstellung eines Anlegers wie folgt definiert:\\[7pt]

\textcolor{uniblau}{\textbf{Definition:}} Der Investor ist\\[7pt]
\begin{itemize}
\item risikoavers, wenn $w_1\succ w_2$,\\[7pt]
\item risikoneutral, wenn $w_1\sim w_2$,\\[7pt]
\item risikofreudig, wenn $w_1\prec  w_2$.\\[2ex]
\end{itemize}~\\[7pt]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Risikobereitschaft}~\\
\textcolor{uniblau}{\textbf{Risikoverhalten}}\\[7pt]
Gegeben $U(Y)$ und $U'(Y)>0$ (muss positiv sein! warum?). \\
Jede(r) Investor*In ist 
\begin{itemize}
\item risikoavers, wenn $U(Y)$ konkav ist $[U''(Y)<0]$,\\[7pt]
\item risikoneutral, wenn $U(Y)$ linear ist  $[U''(Y)=0]$,\\[7pt]
\item  risikofreudig, wenn $U(Y)$ konvex ist  $[U''(Y)>0]$.\\[2ex]
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Risikobereitschaft}
\begin{center}
\vspace{-0.5cm}
\hspace{-0.3cm}\includegraphics[width=10cm]{figures/Kap3Risikoverhalten.pdf}
\end{center}
\end{frame}


\subsection{Vergleichbarkeit von Bernoulli- und mu-sigma}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Bernoulli- und $(\mu,\sigma)$-Prinzip}
\textcolor{uniblau}{\textbf{Frage:}} In welchen F{\"a}llen f{\"u}hren das Bernoulli-Prinzip und das $(\mu,\sigma)$-Prinzip zur gleichen Entscheidung? \\
\vspace{5mm}
\textcolor{uniblau}{\textbf{F{\"u}r alle Zufallsverteilungen vollst{\"a}ndig erkl{\"a}rt durch $\mu$ und $\sigma$:}}
\begin{itemize}
\item Normal verteilte Ergebnisse 
\item Exponentielle Nutzenfunktion $U(V)=-e^{-aV} (a>0)$
\begin{itemize}
\item Die zugeh{\"o}rige Pr{\"a}ferenzfunktion ist $\Phi=\mu-\frac{a}{2}\cdot \sigma^2$
\end{itemize}
\end{itemize}
\framebreak
\begin{tabbing}
\= \textcolor{uniblau}{\textbf{Beispiel: quadratische Nutzenfunktion}}\\[7pt]
\>  $U(V)=aV+bV^2 (a>0, b<0)$\\[7pt]
\>  $\rightarrow $ parabolische Nutzenfunktion; mit $b<0$: \\
\>  Nutzenfunktion impliziert Risikoaversion.\\[7pt]
\>  $\rightarrow $ Funktion ist realisierbar, solange der erwartete Wert steigt.\\[7pt]
\>  Andernfalls: Ein steigender Gewinn oder Wohlstand w{\"u}rde zu einem \\ sinkenden Nutzen f{\"u}hren.\\[7pt]
\>  Daraus folgt:\\[7pt]
\>  $\frac{\delta U(V)}{\delta V} = a + 2bV > 0 \Leftrightarrow V < -\frac{a}{2b}$ \hspace{0.5cm} Achtung: $b<0$ \\[7pt]
\end{tabbing}

\framebreak

Bernoulli-Prinzip: 
\begin{eqnarray*}
\E[U(\tilde V)] & = & \E[a\tilde V+b\tilde V^2]\\
& = & a\cdot \E[\tilde V]+b\cdot \E[\tilde V^2]\\
& \stackrel{(*)}{=} & a\cdot \E[\tilde V]+b\cdot (\var[\tilde V]+ \E[\tilde V]^2)\\
& = & a\cdot\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)\\
\end{eqnarray*}
%\vspace{-0.4cm} 
$(*)$ $\var[\tilde V] = \E[\tilde V^2] - \E[\tilde V]^2$ \\
\vspace{0.4cm}
Daraus folgt: $\underbrace{\E[U(\tilde V)]}_{\text{Bernoulli-Prinzip:}} = \underbrace{a\mu + b\cdot (\sigma^2+ \mu^2)}_{(\mu,\sigma)-Prinzip}$
\end{frame}


\section{Risikozuschlag und Sicherheits{\"a}quivalent}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Risikozuschlag auf den Zinssatz}

\begin{itemize}
\item H{\"a}ufig angewendet (weil einfach) ist die Methode, den ad{\"a}quaten risikolosen \textcolor{uniblau}{\textbf{Diskontierungszins}} um einen \textcolor{uniblau}{\textbf{subjektiven Risikozuschlag}} zu \textcolor{uniblau}{\textbf{erh{\"o}hen}}. 
\item Dieser \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikozuschlag}} wird \textcolor{uniblau}{\textbf{umso gr{\"o}{\ss}er}} sein, \textcolor{uniblau}{\textbf{je h{\"o}her}} das \textcolor{uniblau}{\textbf{Risiko}} des \textcolor{uniblau}{\textbf{Investitionsprojekts eingesch{\"a}tzt}} wird. 
\item F{\"u}r eine Investition l{\"a}sst sich der \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikozuschlag $z$}} auf den Kalkulationszinssatz allgemein wie folgt ber{\"u}cksichtigen:
\begin{equation*}
    PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\E[CF_t]}{(1+i+z)^t}
\end{equation*}
\end{itemize}

\framebreak

\textbf{\textcolor{uniblau}{Beispiel: Ber{\"u}cksichtigung eines Risikozuschlags auf den Kalkulationszinssatz}} \\

\begin{itemize}
\item F{\"u}r eine Investition mit einer Laufzeit von zwei Jahren seien folgende unsichere Cash Flows angenommen. Der Diskontierungszinssatz betrage 10\% und der Risikozuschlag betrage 2\% (Aufschlag um 2 Prozentpunkte). 
\item Zun{\"a}chst ist die Berechnung der erwarteten Cash Flows $\E[CF_t]$ aus der Investition unter Unsicherheit erforderlich:
\end{itemize}
\vspace{0.1cm}
\small
\begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|p{1.5cm}|}
\hline
 \cellcolor[gray]{.5} Umweltzustand & \cellcolor[gray]{.5} $S_1$ & \cellcolor[gray]{.5} $S_2$ & \cellcolor[gray]{.5} $S_3$ & \\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Wahrscheinlichkeit & \cellcolor[gray]{.5} 0,2 & \cellcolor[gray]{.5} 0,5 & \cellcolor[gray]{.5} 0,3 & \\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} $t_1$ & +5 000 & +7 000 & +9 000 & $\E[CF_1]=7 200$\\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} $t_2$ & +6 000 & +7 500  & +10 000  & $\E[CF_2]=7 950$ \\
\hline
\end{tabular}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Der Barwert dieser Investition betr{\"a}gt:
\begin{align*}
    PV_0  &= \sum_{t=1}^T \frac{\E[CF_t]}{(1+i+z)^t} =\frac{7.200\text{\euro}}{1,12} + \frac{7.950\text{\euro}}{1,12^2}\\
    &= \textcolor{uniblau}{12 766,26}
\end{align*}

\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Merke}}: Ein positiver Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz f{\"u}hrt c.p. immer zu einem sinkendem Barwert!
\framebreak
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Begr{\"u}ndung?}} \\
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item \textit{\textcolor{uniblau}{Mathematisch}}: erwartete CF werden mit einem dann h{\"o}heren (weil risikoadjustierten) Zinssatz diskontiert, was zu einem sinkenden Barwert f{\"u}hrt. 
\item \textit{\textcolor{uniblau}{{\"o}konomisch}}: der Risikozuschlag erh{\"o}ht die Mindestrendite, die die Investition mindestens erwirtschaften muss $\Rightarrow$ Investition wird unattraktiver $\Rightarrow$ Barwert sinkt. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten}

\begin{itemize}
\item Alternativ k{\"o}nnen Risiken auch dadurch abgebildet werden, dass anstelle unsicherer Cash Flows sog. \textbf{\textcolor{uniblau}{Sicherheits{\"a}quivalente (certainty equivalents, CEs)}} diskontiert werden $\rightarrow$ \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalentmethode}}

\begin{itemize}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Das Sicherheits{\"a}quivalent einer zuk{\"u}nftigen, unsicheren Zahlung}} ist \textcolor{uniblau}{\textbf{derjenige sichere Betrag}}, der dem Investor in Abh{\"a}ngigkeit seiner Risikoeinstellung den \textcolor{uniblau}{\textbf{gleichen Nutzen}} liefert \textcolor{uniblau}{\textbf{wie}} die \textcolor{uniblau}{\textbf{unsichere Zahlung selbst}}. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\framebreak

\begin{itemize}
\item Je nach \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikoeinstellung}} des Investors kann aus der \textcolor{uniblau}{\textbf{Differenz von Sicherheits{\"a}quivalent und Erwartungswert der zuk{\"u}nftigen Zahlung}} eine \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikopr{\"a}mie RP}} von gr{\"o}{\ss}er null, kleiner null oder gleich null resultieren. 

\begin{itemize}
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikoneutralit{\"a}t}}: \quad Sicherheits{\"a}quivalent = Erwartungswert der unsicheren Zahlung: $\Rightarrow$ RP = 0
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikoaversion}}: \qquad Sicherheits{\"a}quivalent < Erwartungswert der unsicheren Zahlung:  $\Rightarrow$ RP > 0
\item \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikoaffinit{\"a}t}}: \qquad Sicherheits{\"a}quivalent > Erwartungswert der unsicheren Zahlung:  $\Rightarrow$ RP < 0 
\end{itemize}
\end{itemize}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Es bestehen also folgende Zusammenh{\"a}nge zwischen dem \textcolor{uniblau}{\textbf{Erwartungswert der unsicheren Cash Flows $\E(CF_t)$}}, \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalent $CE_t$}} und der \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikopr{\"a}mie $RP_t$}}:
\end{itemize}
\begin{eqnarray*}
    \E(CF_t) &=& CE_t + RP_t\\
    CE_t &=&  \E(CF_t) - RP_t\\
    RP_t &=& \E(CF_t) - CE_t
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten}
\begin{itemize}
\vspace{0.4cm}
\item Ist die \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikonutzenfunktion}} des Investors bekannt, kann das \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalent \(CE_t\) direkt aus dieser Risikonutzenfunktion bestimmt werden}}. 
\item Da der \textcolor{uniblau}{\textbf{Nutzen des Sicherheits{\"a}quivalents  $U(CE_t)$ genau so gro{\ss}}} sein muss, wie der erwartete \textcolor{uniblau}{\textbf{Nutzen der unsicheren erwarteten Cash Flows $\E[U(CF_t)]$}}, gilt folgender Zusammenhang: 
\end{itemize}
\vspace{-0.5cm}
\begin{align*}
    U(CE_t)  &\overset{!}{=} \E[U(CF_t)]\\
    \Leftrightarrow CE_t &= U^{-1} (\E[U(CF_t)])
\end{align*}
\vspace{-0.7cm}
\begin{itemize}
\item Das hei{\ss}t, das \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalent}} l{\"a}sst sich allgemein aus der \textcolor{uniblau}{\textbf{Inversen der Risikonutzenfunktion}} des Investors ermitteln. 
\end{itemize}

\framebreak

\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{figures/Risikoeinstellung.pdf}
\end{center}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Zur Erinnerung: F{\"u}r das Sicherheits{\"a}quivalent gilt:\\
\begin{equation*}
\textcolor{uniblau}{CE_t =  \E(CF_t) - RP_t} 
\end{equation*}
\item Die \textcolor{uniblau}{\textbf{allgemeine Barwertformel}} ver{\"a}ndert sich dann mit \textcolor{uniblau}{\textbf{Ber{\"u}cksichtigung}} von \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalenten}} wie folgt:
\begin{equation*}
    PV_0 = \sum_{t=1}^T \frac{\overbrace{\E(CF_t) - RP_t}^{CE_t}}{(1+i)^t}
\end{equation*}
\end{itemize}
\framebreak

\textbf{\textcolor{uniblau}{Beispiel: Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten}} \\
\begin{itemize}
\item F{\"u}r eine Investition unter Unsicherheit stehen folgende Informationen zur Verf{\"u}gung:
\begin{itemize}
\item Risikoloser Kapitalmarktzins: 10\%
\item Erwartete Cash Flows:
\end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
\small
\begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|c|}
\hline
 \cellcolor[gray]{.5} Umweltzustand & \cellcolor[gray]{.5} $S_1$ & \cellcolor[gray]{.5} $S_2$ & \cellcolor[gray]{.5} $S_3$ & \cellcolor[gray]{.5} $S_4$\\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Wahrscheinlichkeit & \cellcolor[gray]{.5} 0,1 & \cellcolor[gray]{.5} 0,3 & \cellcolor[gray]{.5} 0,4 & \cellcolor[gray]{.5} 0,2\\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Jahr 1 & +4 000 & +6 000 & +8 000 & +11 000 \\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Jahr 2 & +3 000 & +6 000 & +9 000 & +12 000\\
\hline
\end{tabular}

\framebreak

\textbf{\textcolor{uniblau}{Beispiel: Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten}} \\
\begin{itemize}
\item Damit lassen sich f{\"u}r die gegebene Investition folgende Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen bestimmen:
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabular}[h]{|c|c|c|c|}
\hline
 \cellcolor[gray]{.5}  & \cellcolor[gray]{.5} $\mu$ & \cellcolor[gray]{.5} $\sigma^2$ & \cellcolor[gray]{.5} $\sigma$\\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Jahr 1 & 7 600 & 4 440 000 & 2 107\\
\hline
\cellcolor[gray]{.5} Jahr 2 & 8 100 & 7 290 000 & 2 700\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Ber{\"u}cksichtigung von Sicherheits{\"a}quivalenten}
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item Das Sicherheits{\"a}quivalent bestimmt sich als Umkehrfunktion (Inverse) der \textcolor{uniblau}{\textbf{Risikonutzenfunktion}} und soll hier im Beispiel wie folgt lauten:
\begin{align*}
CE_t &= \E(CF_t) - RP_t\\
&= \E(CF_t) - \alpha \cdot \sigma (CF_t) \\
&= \E(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t)
\end{align*}
\item $\alpha$ gibt dabei den Grad der Risikoaversion des jeweiligen Entscheiders an. 
\item Nutzenfunktionen zu bestimmen ist in der Praxis eine gro{\ss}e Herausforderung. 
\end{itemize}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Die ermittelten Werte werden nun verwendet, um den \textcolor{uniblau}{\textbf{Barwert der unsicheren Investition}} zu berechnen. 
\item Daf{\"u}r sind zun{\"a}chst die \textcolor{uniblau}{\textbf{Sicherheits{\"a}quivalente beider Jahre}} zu berechnen:
\end{itemize}
\vspace{-0.2cm}
\begin{align*}
CE_t &= \E(CF_t) - 0,1 \cdot \sigma (CF_t) \\
CE_1 &= 7 600 - 0,1 \cdot 2 107 = \textcolor{uniblau}{7 389,30}\\
CE_2 &= 8 100 - 0,1 \cdot 2 700 = \textcolor{uniblau}{7 830,00}
\end{align*}

\framebreak
\begin{itemize}
\item Gem{\"a}{\ss} der Formel zur Berechnung des Barwertes gilt dann:
\end{itemize}

\begin{align*}
PV_0 &= \sum_{t=1}^T \frac{\textcolor{uniblau}{CE_t}}{(1+i)^t} = \frac{7 389,30}{1,1} + \frac{7 830,00}{1,1^2}   \\
&= \textcolor{uniblau}{13 188,62}
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Zusammenfassung und weitere Agenda}
\begin{itemize}
    \item Jetzt sind wir in der Lage, einzelne Zahlungsstr{\"o}me unter Risiko zu bewerten. 
    \item In der Realit{\"a}t wird ein Unternehmen jedoch selten nur in ein einzelnes Projekt investieren wollen. 
    \item In gleichem Ma{\ss}e sollte ein Investor nicht nur in eine einzige Anlagem{\"o}glichkeit investieren (warum? $\rightarrow$ dazu gleich mehr). 
    \item Daher betrachten wir im weiteren Verlauf die Investition in mehrere Projekte. 
    \item Wir werden dies am Beispiel eines Investors diskutieren; die {\"U}berlegungen sind aber ohne Weiteres auf Unternehmen zu {\"u}bertragen. 
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Portfolios und Diversifikation}
\begin{frame}
\begin{center}
\Huge{\textcolor{uniblau}{Portfolios und Diversifikation}}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Entscheidungssituation unter Risiko}
\begin{itemize}
\item Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschlie{\ss}ender Investitionsprojekte bzw. -programme. 
\item Jetzt: Investitionsprojekte schlie{\ss}en sich nicht mehr gegenseitig aus. 
\item Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei Risiko erfordert die Ber{\"u}cksichtigung der stochastischen Zusammenh{\"a}nge mit der Gesamtheit aller {\"u}brigen Projekte, die durchgef{\"u}hrt werden. 
\item Modell notwendig, in dem das Gesamtprogramm (=Portfolio) unter simultaner Ber{\"u}cksichtigung aller in Frage kommender Projekte optimiert wird. 
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
Although more than half a century has passed since Markowitz's (1952) seminal paper, the mean-variance (MV) framework is still the major model used in practice today in asset allocation and active portfolio management despite many other models developed by academics. 
\begin{flushright}
\citep{tu-2011}
\end{flushright}
\end{frame}



\begin{frame}[allowframebreaks]{Anlageproblematik}
Der Aufbau, die Verwaltung und die Sicherung von Verm\"ogen ist ein zentraler Prozess, mit dem jeder Anleger konfrontiert ist.
\\[2ex]
\textbf{\textcolor{uniblau}{Herausforderungen:}}
\begin{itemize}
\item Viele Anlagealternativen mit verschiedenen Rendite-/Risikoprofilen
\item Ausgleich von Risiken
\item Abstimmung auf die individuellen Pr{\"a}ferenzen des Anlegers
% \item Absicherung gegen\"uber Negativevents (bspw. Kurseinbr\"uche)
% \item Niedrigzinsphase 
\end{itemize}
\framebreak
\textbf{\textcolor{uniblau}{{L\"osung:}}} Portfoliomanagement
\begin{itemize}
\item \textit{Die wesentliche Aufgabe des Portfoliomanagements besteht darin, das Kapital \textcolor{uniblau}{\textbf{im Hinblick auf die Nutzenpr\"aferenz des Anlegers}} optimal zu allokieren.}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Anlageuniversum}

\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figures/Anlageuniversum.pdf}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Magisches Dreieck}
\begin{center}
\includegraphics[width = 10cm]{figures/Magisches Dreieck.drawio-2.pdf}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Rendite und Risiko f\"ur Einzelinvestitionen}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Rendite}} 
\vspace{0.2cm}

Verh\"altnis zwischen einem Endwert und einem Anfangswert, ausgedr\"uckt \"uber einen bestimmten Zeitraum. \\
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item {$r_t = \frac{ P_t }{ P_{t-1} } -1$  (diskret)}, \\
\item \textcolor{uniblau}{{$r_t = ln (\frac{ P_t }{ P_{t-1} }$) (stetig)}},
\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
wobei {$P_t$} der Preis der Aktie zum Zeitpunkt {$t$} ist.
\\[2ex]
\textbf{\textcolor{uniblau}{Durschnittliche Rendite einer Einzelinvestition}} 

\begin{equation*}
\bar r = \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} r_t
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Die Vorteile der stetigen Rendite}
\vspace{0.1cm}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Zeitadditivit\"at}} \\
\vspace{0.1cm}
F\"ur diskrete Renditen ist die Rendite \"uber einen langen Zeitraum nicht die Summe der Renditen \"uber die kurzen Zeitr\"aume.
\begin{equation*}
    \displaystyle (1 + r_1)(1 + r_2) \cdots (1 + r_n) = \prod_i (1+r_i)
\end{equation*}
Diese fehlende Zeitadditivit\"at von diskreten Renditen ist f\"ur viele Analysen ungeeignet; insb. {\"a}ndert sich durch die Multiplikation die Verteilung der Renditen. Aus diesem Grund werden h\"aufig stetige Renditen verwendet, da sie zeitadditiv sind. 
Bei stetigen Renditen ist die Rendite  \"uber einen langen Zeitraum die Summe der Renditen \"uber die kurzen Zeitr\"aume.
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_i \log(1+r_i) = \log(1 + r_1) + \cdots + \log(1 + r_T) = \log(P_T) - \log(P_0)
\end{equation*}


\textbf{\textcolor{uniblau}{Normalverteilung der log-Renditen}} \\
\vspace{0.1cm}
Wenn wir annehmen, dass die Preise logarithmisch normalverteilt sind, dann ist log(1 + $r_i$) praktischerweise auch normalverteilt. \\[0.7cm]


\textbf{\textcolor{uniblau}{Diskrete und kontinuierliche Renditen sind nahezu \"aquivalent}} \\
\vspace{0.1cm}
Wenn die Renditen sehr klein sind (was bei Gesch\"aften mit kurzer Haltedauer oft der Fall ist), liegen stetige Renditen im Wert nahe bei diskreten Renditen. 
\begin{equation*}
\log(1 + r) \approx r , r \ll 1
\end{equation*}
\end{frame}



\begin{frame}{Rendite und Risiko f\"ur Einzelinvestitionen}

\textbf{\textcolor{uniblau}{Risiko einer Einzelinvestion (hier: Volatilit\"at) }} \\
\vspace{0.1cm}
Die Varianz $\sigma^2$ ist die quadratische Differenz zwischen den realisierten Einzelrenditen und ihrem berechneten Mittelwert. Durch Ziehen der Quadratwurzel erh\"alt man die Standardabweichung $\sigma$:
\begin{equation*}
\sigma = \sqrt{ \frac{ 1 }{ t } \cdot \sum \limits_{t=1}^{T} (r_t - \bar r)^2 }
\end{equation*}


\end{frame}
\begin{frame}{Rendite und Risiko f\"ur Einzelinvestitionen}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Wurzel-T-Regel }} \\
\vspace{0.1cm}
Um eine entsprechende Vergleichbarkeit von Rendite und Risiko zu erreichen, m\"ussen beide Variablen annualisiert werden.
Die annualisierte Standardabweichung wird mit Hilfe des Annualisierungsfaktors ({\glqq}Wurzel-T-Regel{\grqq}) bestimmt:
\begin{equation*}
\sigma_{T_1} = \sigma_{T_2} \cdot \sqrt{ \frac{ {T_1} }{ {T_2} } }
\end{equation*}    
\end{frame}



\begin{frame}{Rendite und Risiko f\"ur Einzelinvestitionen}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Erwartete Rendite und Varianz}} \\
\vspace{0.1cm}
Da eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit getroffen wird, ist die \textbf{\textcolor{uniblau}{Renditeberechnung}} \textbf{\textcolor{uniblau}{ex-ante}}  \textbf{\textcolor{uniblau}{nicht} \textbf{\textcolor{uniblau}{m\"oglich}}}. Die tats\"achliche Rendite $r_T$ und Volatil\"at $\sigma$ kann \textbf{\textcolor{uniblau}{nur ex post}} bestimmt werden. 
\\[2ex]
\textbf{\textcolor{uniblau}{Annahme:}} Zuk\"unftige Renditen haben \"ahnliche Eigenschaften wie historische Renditen: 

\begin{itemize}
\item Gleichbleibender Mittelwert
\item Gleichbleibende Varianz
\end{itemize}

Aufbauend darauf nutzt man h{\"a}ufig die durchschnittliche vergangene Rendite als erwartete Rendite $\mu=\E[r_i] = \bar r$ und die historische Varianz $\sigma^2 = \var[r_i]$ als Ma{\ss} f{\"u}r die erwartete Volatilit{\"a}t.
\end{frame}

\begin{frame}{Rendite-Risiko-Diagramm}
\vspace{0.2cm}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Wie w\"urden Sie sich entscheiden?}} \\
\vspace{-0.2cm}
\begin{center}
\includegraphics[width = 9cm]{figures/Rendite_Risiko.jpg}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Portfolio}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Was ist ein Portfolio?}} \\[0.3cm]
\begin{itemize}
\item Das \textbf{\textcolor{uniblau}{Portfolio}} beschreibt ein \textbf{\textcolor{uniblau}{B\"undel}} von Investitionen, die ein Anleger besitzt.
\item F\"ur den Aufbau eines Portfolios werden in der Regel \textbf{\textcolor{uniblau}{Zielsetzungen und -kriterien}} formuliert, die der Auswahl der einzelnen Verm\"ogenswerte zugrunde gelegt werden.
\item Durch die Zusammenstellung des Portfolios wird versucht, die  \textbf{\textcolor{uniblau}{f{\"u}r den Investor optimale Mischung}} zwischen Rendite, Risiko und Liquidit\"at zu erreichen.
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Portfolio}
\hypertarget{beispiel-portfolio}{}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/portfoliomix.pdf}
\end{center}
\begin{tiny}
\vspace{-4ex}
\begin{table}[]
\resizebox{0.9\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{@{}lllll@{}}
\toprule
                 & Aktien   & Anleihen & Immobilien & Portfolio \\ \midrule
Rendite p.a      & 10,31\% & 3,36\%  & 2,30\%    & 6,19\%       \\
Volatilit\"at p.a. & 20,13\% & 4,25\%  & 2,96\%    & 7,13\%       \\ 
Sharpe Ratio ($r_f= 0\%$) & 0,51 & 0,78 & 0,81 & 0,87\\ \bottomrule
\end{tabular}%
}
\end{table}
\end{tiny}

\hyperlink{sharpe}{\beamerbutton{Sharpe Ratio}} 

\end{frame}

\begin{frame}{Rendite und Risiko eines Portfolios}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Gesamtrendite des Portfolios}} \\
\vspace{0.1cm}

Die Summe der Erwartungswerte der Renditen, gewichtet mit den Anteilen $x_i$ der $i$ = 1, ... N Wertpapiere in einem Portfolio P ergibt die Portfoliorendite: 
\begin{itemize}
\item  $\E[r_P] = \sum \limits_{i=1}^{N} x_i \cdot \E[r_i]$
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}

\textbf{\textcolor{uniblau}{Gesamtrisiko des Portfolios}} \\
\vspace{0.1cm}

Das Gesamtrisiko des Portfolios ist abh\"angig von 
\begin{itemize}
\item den \textbf{\textcolor{uniblau}{Risiken der einzelnen Wertpapiere}} $\sigma_i$,
\item ihren \textbf{\textcolor{uniblau}{Portfolioanteilen}} $x_i$ und
\item den \textbf{\textcolor{uniblau}{Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen}}.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Kovarianz und Korrelation}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Kovarianz}} \\
\vspace{0.1cm}
Die Kovarianz charakterisiert die (lineare) \textbf{\textcolor{uniblau}{Beziehung zwischen den Renditen}} zweier Wertpapiere und ergibt sich aus dem Produkt der Differenzen zwischen zwei Wertpapieren i und j.
\begin{itemize}
\item $\sigma_{ij} = \E[(r_i- \E[r_i])(r_j- \E[r_j])]$ \\[2ex]
\end{itemize}

\textbf{\textcolor{uniblau}{Korrelation}} \\
\vspace{0.1cm}
Um die Beziehung vergleichbar zu machen, wird der Korrelationskoeffizient durch \textbf{\textcolor{uniblau}{Standardisierung der Kovarianz}} hergeleitet. Dieser ist definiert als Quotient aus Kovarianz  $\sigma_{ij}$ und dem Produkt der Standardabweichungen $\sigma_i\sigma_j$.
\begin{itemize}
\item  $ \rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j} $
\end{itemize}


\end{frame}

\begin{frame}{Kovarianz und Korrelation}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Interpretation}} \\
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item Der Korrelationskoeffizient ist \textbf{\textcolor{uniblau}{normiert}} und nimmt nur Werte zwischen $-1 \leq\rho_{ij} \leq 1$ an.
\item Er dient als \textbf{\textcolor{uniblau}{\glqq Richtungs- und St\"arkeindikator\grqq}} f\"ur die zu prognostizierenden Renditen der abh\"angigen Wertpapiere.
\begin{itemize}
\item Bei einem Wert von +1 (bzw. -1) besteht eine vollst\"andig positive (bzw. negative) lineare Beziehung zwischen den betrachteten Variablen.
\item Ist $\rho_{ij}$ gleich null, so besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Variablen.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Risiko des Portfolios}
\textbf{\textcolor{uniblau}{2 Assets:}} 

\begin{footnotesize}
$$\sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$$
\end{footnotesize}

\textbf{\textcolor{uniblau}{3 Assets:}} 
\begin{footnotesize}
\begin{center}
$\sigma_p$ = 
$$\sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + w_3^2\sigma_3^2 +2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2+2w_1w_3\rho_{13}\sigma_1\sigma_3 +2w_2w_3\rho_{23}\sigma_2\sigma_3}$$
\end{center}
\end{footnotesize}

\textbf{\textcolor{uniblau}{n Assets:}} 

\begin{footnotesize}
$$\sigma_p = \sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N}w_i^2\sigma_i^2+2\sum \limits_{i=0}^{N} \sum \limits_{j=i+1}^{N} w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j}$$
\end{footnotesize}
\end{frame}




\begin{frame}{Diversifikationseffekt}
\hypertarget{Diversifikationseffekt}{}

Gegeben sind N identische Wertpapiere mit 
\begin{itemize}
\item $\mu_i = \mu$  
\item $\sigma_i = \sigma$
\item $\rho_{ij} = 0$ f\"ur alle i $\neq$ j
\end{itemize}


\textbf{\textcolor{uniblau}{M{\"o}gliche Alternativen:}} 

\begin{enumerate}
\item Investion in ein einzelnes Wertpapier
\item Gleichm{\"a}{\ss}ige Investion auf alle $n$ Wertpapiere
\begin{itemize}
\item Naive Diversifikation \citep[vgl. bspw.][]{demiguel-2007,tu-2011}
\end{itemize}

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{uniblau}{Renditen der Alternativen:}}

\begin{enumerate}
\item  $\E[r_P] = 1 \cdot \mu_1 = \mu$
\item $\E[r_P] = \frac{1}{N}\cdot\mu_1 + \frac{1}{N} \cdot \mu_2 + ... + \frac{1}{N} \cdot \mu_N = \frac{1}{N}
\sum \limits_{i=1}^{N}\mu_i = \mu$.
\end{enumerate}

\hyperlink{1durchN}{\beamerbutton{1/N}} 
\end{frame}

\begin{frame}{Diversifikationseffekt}

Die Renditen der Einzelinvestition und des Portfolios sind \textbf{\textcolor{uniblau}{identisch}}. \\[2ex]

\textbf{\textcolor{uniblau}{Standardabweichung der Alternativen:}}

\begin{enumerate}
\item 
$
\sigma_P = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2}= 1 \cdot \sigma_1 = \sigma
$
\item
$
\sigma_P = \sqrt{(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_1^2+ (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_2^2+...+(\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_N^2}  =\sqrt{\sum \limits_{i=0}^{N} (\frac{1}{N})^2 \cdot \sigma_i^2} = \frac{\sigma}{N}
$
\end{enumerate}
\vspace{2ex}
Bei einer Investition in N Wertpapiere verringert sich die Standardabweichung auf $\frac{\sigma}{N}$. \\ 
$\Rightarrow$ Durch die Investition in ein Portfolio kann die \textbf{\textcolor{uniblau}{Volatilit\"at reduziert}} werden.
\end{frame}
\begin{frame}{Diversifikationseffekt}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{figures/Risiko-3.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Diversifikation: Systematisches und unsystematisches Risiko}
\begin{itemize}
\item Das Risiko eines einzelnen Wertpapiers kann in zwei Risiken unterteilt werden:
\begin{itemize}
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Unsystematisches (idiosynkratisches) Risiko (unternehmenspezifisch)}}
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Systematisches Risiko (Marktrisiko)}}
\end{itemize}
\item Durch ein breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, l\"asst sich das unsystematische Risiko auf ein Minimum reduzieren. Das Marktrisiko bleibt jedoch stets erhalten.
\end{itemize}

\framebreak

\phantom{bla}
\begin{center}
\includegraphics[width =0.85\textwidth]{figures/Risiko-2.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einfluss des Korrelationsfaktors}

Gegeben ist ein Portfolio aus 2 Wertpapieren mit den Portfoliogewichten w und (1 - w) (w $\in$[0;1]).
\\[2ex]
\textbf{\textcolor{uniblau}{Rendite des Portfolios:}} 
\begin{center}
    $\E[r_P] = w \E[r_1] + (1-w) \E[r_2]$
\end{center}
\textbf{\textcolor{uniblau}{Standardabweichung des Portfolios:}} 
\begin{center}
$\sigma_P = \sqrt{w^2\sigma_1^2 + (1-w)^2\sigma_2^2 +2w(1-w)\rho_{12}\sigma_1\sigma_2}$
\end{center}
\vspace{2ex}
Anhand der Formel ist erkennbar, dass der Korrelationskoeffizient einen direkten Einfluss auf die Standardabweichung $\sigma_{P}$ aus\"ubt.
\end{frame}

\begin{frame}{Einfluss des Korrelationsfaktors}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/Korrelationskoeffizient.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Einfluss des Korrelationsfaktors}
\begin{enumerate}
\item $\rho_{ij} = +1$
\begin{itemize}
\item Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollst\"andig gleichgerichtet
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Gesamtrisiko des Portfolios}} entspricht der \textbf{\textcolor{uniblau}{Summe der mit den jeweiligen Portfolioanteilen}} gewichteten \textbf{\textcolor{uniblau}{Standardabweichungen}} der beiden Wertpapiere (Durchschnittsrisiko, keine Diversifikation)
\end{itemize}
\item $-1 \leq\rho_{ij} \leq +1$
\begin{itemize}
\item Wenn der Korrelationskoeffizient sich verringert, \textbf{\textcolor{uniblau}{sinkt das Portfoliorisiko zunehmend}} unter das Durchschnittsrisiko. (Diversifikationseffekt tritt ein)
\end{itemize}
\item $\rho_{ij} = -1$
\begin{itemize}
\item Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollst\"andig gegenl\"aufig
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Gesamtrisiko des Portfolios}} kann auf \textbf{\textcolor{uniblau}{0}} gesenkt werden (perfekte Diversifikation)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{frame}


\begin{frame}{Korrelationskoeffizient}
\begin{itemize}
\item Die Wirkung des Korrelationskoeffizienten ist  \textbf{\textcolor{uniblau}{erheblich}} f\"ur das Gesamtrisiko des Portfolios.
\item Bei der Zusammenstellung eines diversifizierten Portfolios ist es  erforderlich, sowohl die Korrelationen \textbf{\textcolor{uniblau}{innerhalb einer Anlageklasse}}  als auch die Korrelationen \textbf{\textcolor{uniblau}{zwischen einzelnen Anlageklassen}}  f\"ur das Portfolio als Ganzes zu ber\"ucksichtigen.
\end{itemize}



\end{frame}
\begin{frame}{Korrelationen}

\textbf{\textcolor{uniblau}{\"Ubersicht  \"uber die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse}} 


\begin{table}[]
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{@{}lllllllllll@{}}
\toprule
                   & (1)                           & (2)                           & (3)                           &  & (4)                           & (5)                           & (6)                           &  & (7)                           & (8)                       \\ \midrule
                   & \multicolumn{3}{c}{Automobilindustrie}                                                        &  &                               &                               &                               &  &                               &                           \\
BMW (1)            & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &                               &  &                               &                               &                               &  &                               &                           \\
Daimler (2)        & \cellcolor[HTML]{F96D6C}0,814 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &  &                               &                               &                               &  &                               &                           \\
Volkswagen (3)     & \cellcolor[HTML]{F8696B}0,823 & \cellcolor[HTML]{FA8671}0,755 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &  &                               &                               &                               &  &                               &                           \\
                   &                               &                               &                               &  & \multicolumn{3}{c}{Finanzen}                                                                  &  &                               &                           \\
M\"unchener R\"uck (4) & \cellcolor[HTML]{FFE082}0,538 & \cellcolor[HTML]{FFE583}0,527 & \cellcolor[HTML]{F1E783}0,483 &  & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &                               &  &                               &                           \\
Allianz (5)        & \cellcolor[HTML]{FDC67D}0,601 & \cellcolor[HTML]{FDC47D}0,605 & \cellcolor[HTML]{FED17F}0,574 &  & \cellcolor[HTML]{FA8170}0,767 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &  &                               &                           \\
Deutsche Bank (6)  & \cellcolor[HTML]{FFDD82}0,545 & \cellcolor[HTML]{FECF7F}0,578 & \cellcolor[HTML]{FAE983}0,502 &  & \cellcolor[HTML]{FFE884}0,519 & \cellcolor[HTML]{FCAE79}0,658 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &  &                               &                           \\
                   &                               &                               &                               &  &                               &                               &                               &  & \multicolumn{2}{c}{Energie}                               \\
RWE (7)            & \cellcolor[HTML]{7EC67C}0,249 & \cellcolor[HTML]{7DC57C}0,246 & \cellcolor[HTML]{6DC07B}0,213 &  & \cellcolor[HTML]{DAE081}0,435 & \cellcolor[HTML]{B3D57F}0,357 & \cellcolor[HTML]{71C27B}0,221 &  & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                           \\
E.ON (8)           & \cellcolor[HTML]{68BF7B}0,204 & \cellcolor[HTML]{7AC47C}0,24  & \cellcolor[HTML]{63BE7B}0,192 &  & \cellcolor[HTML]{EAE582}0,469 & \cellcolor[HTML]{CBDC81}0,406 & \cellcolor[HTML]{79C47C}0,238 &  & \cellcolor[HTML]{FEC97E}0,594 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1 \\ \bottomrule
\end{tabular}%
}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Korrelationskoeffizient}

\textbf{\textcolor{uniblau}{Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse:}} \\
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item In der Praxis bewegen sich die \textbf{\textcolor{uniblau}{Renditen}} der einzelnen Anlageklassen, wie z.B. \textbf{\textcolor{uniblau}{Aktien}}, \textbf{\textcolor{uniblau}{sehr \"ahnlich}}. 
\item Noch ausgepr{\"a}gter ist dieser Effekt innerhalb einzelner Industrien. 
\item Dies ist darauf zur\"uckzuf\"uhren, dass die \textbf{\textcolor{uniblau}{Faktoren}}, die die Renditen bestimmen, wie Zinsniveau, Inflationsrate, wirtschaftliche Entwicklung und W\"ahrungseinfl\"usse  alle Aktien \"ahnlicherma\ss{}en betreffen. \end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Korrelationen}

\textbf{\textcolor{uniblau}{\"Ubersicht  \"uber die Korrelationen verschiedener Anlageklassen}} 
\begin{table}[]
\resizebox{\textwidth}{!}{%
\begin{tabular}{@{}llllllllllll@{}}
\toprule
                        & (1)                           & (2)                           & (3)                           & (4)                           &  & (5)                           & (6)                           &  & (7)                           & (8)                           & (9)                       \\ \midrule
                        & \multicolumn{4}{c}{Aktien}                                                                                                    &  &                               &                               &  &                               &                               &                           \\
Aktien Europa (1)       & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &                               &                               &  &                               &                               &  &                               &                               &                           \\
Aktien USA (2)          & \cellcolor[HTML]{F97C6F}0,785 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &                               &  &                               &                               &  &                               &                               &                           \\
Aktien EM (3)           & \cellcolor[HTML]{FA8C72}0,724 & \cellcolor[HTML]{FCA276}0,644 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &  &                               &                               &  &                               &                               &                           \\
Aktien Pazifik (4)      & \cellcolor[HTML]{F8696B}0,851 & \cellcolor[HTML]{FA7D6F}0,781 & \cellcolor[HTML]{FA7F70}0,771 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &  &                               &                               &  &                               &                               &                           \\
                        &                               &                               &                               &                               &  & \multicolumn{2}{c}{Anleihen}                                  &  &                               &                               &                           \\
Euro-Staatsanleihen (5) & \cellcolor[HTML]{EBE582}0,338 & \cellcolor[HTML]{8BC97D}0,149 & \cellcolor[HTML]{C6DA80}0,266 & \cellcolor[HTML]{BED880}0,249 &  & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &  &                               &                               &                           \\
EM-Anleihen (6)         & \cellcolor[HTML]{FCA777}0,628 & \cellcolor[HTML]{FED480}0,461 & \cellcolor[HTML]{FB9D75}0,664 & \cellcolor[HTML]{FCB27A}0,585 &  & \cellcolor[HTML]{FDC17C}0,532 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &  &                               &                               &                           \\
                        &                               &                               &                               &                               &  &                               &                               &  & \multicolumn{3}{c}{Sonstiges}                                                             \\
Gold (7)                & \cellcolor[HTML]{BAD780}0,242 & \cellcolor[HTML]{7AC47C}0,115 & \cellcolor[HTML]{A4D17E}0,199 & \cellcolor[HTML]{97CD7E}0,172 &  & \cellcolor[HTML]{FCA276}0,645 & \cellcolor[HTML]{FED781}0,452 &  & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                               &                           \\
Rohstoffe (8)           & \cellcolor[HTML]{FECC7F}0,49  & \cellcolor[HTML]{FFD981}0,443 & \cellcolor[HTML]{FECA7E}0,498 & \cellcolor[HTML]{FEC97E}0,504 &  & \cellcolor[HTML]{94CC7D}0,167 & \cellcolor[HTML]{FFE182}0,415 &  & \cellcolor[HTML]{BCD780}0,246 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1     &                           \\
Bitcoin (9)             & \cellcolor[HTML]{A4D07E}0,198 & \cellcolor[HTML]{AFD47F}0,22  & \cellcolor[HTML]{7FC67C}0,125 & \cellcolor[HTML]{8FCA7D}0,156 &  & \cellcolor[HTML]{80C67C}0,128 & \cellcolor[HTML]{74C27B}0,103 &  & \cellcolor[HTML]{63BE7B}0,069 & \cellcolor[HTML]{64BE7B}0,072 & \cellcolor[HTML]{EFEFEF}1 \\ \bottomrule
\end{tabular}%
}
\end{table}
\begin{tiny}
Achtung: Korrelationen sind nicht konstant und \"andern sich im Laufe der Zeit. 
\end{tiny}
\end{frame}

\begin{frame}{Asset Allocation}

\begin{itemize}
\item Erst durch die \textbf{\textcolor{uniblau}{Beimischung anderer Anlageklassen}} wie Anleihen, Gold und Rohstoffen k\"onnen die \textbf{\textcolor{uniblau}{Vorteile}} niedriger Koeffizienten richtig genutzt werden. 
\item Diese Verteilung (Diversifikation) des Verm\"ogens auf verschiedene Assetklassen wird als \textbf{\textcolor{uniblau}{Asset Allocation (Verm\"ogensallokation)}} bezeichnet.
\item Schl\"usselziel ist ein \textbf{\textcolor{uniblau}{ausgewogenes Verh\"altnis von Risiko und Rendite}} im Gesamtportfolio.
\item Die Allokation erfolgt \"ahnlich zum Aktienportfolio durch die \textbf{\textcolor{uniblau}{individuelle Abstimmung}} des jeweiligen Verm\"ogensanteils an die Risikotoleranz, die Ziele und den Zeitrahmen des Anlegers. 
\end{itemize}
\end{frame}


\section{Markowitz Portfolio Theorie}
\begin{frame}
\begin{center}
\begin{Huge}
\textcolor{uniblau}{Markowitz Portfolio Theorie}
\end{Huge}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Markowitz Portfolio Theorie}
\begin{itemize}
\item 1952 legte Markowitz mit seinem Beitrag \glqq Portfolio Selection{\grqq} \citep{markowitz1952} den \textbf{\textcolor{uniblau}{Grundstein}} f\"ur die \textbf{\textcolor{uniblau}{moderne Portfoliotheorie}}. 
\item Markowitz war der Erste, der eine \textbf{\textcolor{uniblau}{umfassende Methodik}} f\"ur die Portfolioanalyse und die \textbf{\textcolor{uniblau}{Bestimmung effizienter Portfolios}} entwickelte.
\item Sein Modell dient \textbf{\textcolor{uniblau}{nach wie vor}} als \textbf{\textcolor{uniblau}{Grundlage}} f\"ur die Erstellung von Asset Allocations.
\item Die wichtigsten Grunds\"atze des Konzepts sind  \textbf{\textcolor{uniblau}{Diversifikation und Verm\"ogensallokation}}.

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}{Markowitz-Optimierung}

\begin{itemize}
\item Das \textbf{\textcolor{uniblau}{Ziel}} der Portfoliotheorie nach Markowitz ist es, ein Portfolio auf dem Kapitalmarkt so zu optimieren, dass es \textbf{\textcolor{uniblau}{effizient}} ist.
\item Ein Portfolio hei\ss{}t effizient, wenn es \textbf{\textcolor{uniblau}{von keinem anderen Portfolio dominiert}} wird, dass
\begin{itemize}
\item ein geringeres Risiko bei gleichem erwarteten Ertragswert hat oder
\item einen h\"oheren erwarteten Renditewert bei gleichem Risikoniveau.
\end{itemize}
\item Die Menge aller effizienten Portfolios hei{\ss}t \textbf{\textcolor{uniblau}{Effizienzlinie}}.
\item Die Entscheidungsparameter des Modells sind die \textbf{\textcolor{uniblau}{erwarteten Renditen}}, die  \textbf{\textcolor{uniblau}{Volatilit\"aten}} und die \textbf{\textcolor{uniblau}{Korrelationen}}.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Beispiel Risikoeffizienz}
Neben der risikofreien Geldanlage gibt es nur zwei risikobehaftete Wertpapiere.\\[7pt]

Beispiel:\\[7pt]
\begin{tabular}{c|cccl}
$WP_i$ & 1 & & 2 & \\ \hline
$\mu_i$ & 0,07 & < & 0,12 & (erwartete Rendite)\\[1ex]
$\sigma_i$ & 0,09 & > & 0,08 & (Standardabweichung der Rendite)
\end{tabular}~\\[7pt]
\begin{itemize}
\item Kann nur in eines der beiden Wertpapiere investiert werden, ist Wertpapier 2 risikoeffizient, da $\mu_2>\mu_1$ und $\sigma_2 < \sigma_1$ gilt.\\[7pt]
\item K{\"o}nnen Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 gebildet werden, gibt es mehr als eine effiziente L{\"o}sung, abh{\"a}ngig vom Korrelationskoeffizienten zwischen den Wertpapieren.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Annahmen des Modells}
\begin{itemize}
\item Ausgangspunkt f\"ur die Optimierung ist ein \textbf{\textcolor{uniblau}{(a) Ein-Perioden-Investitionsmodell}}, das sich mit der \textbf{\textcolor{uniblau}{Entscheidung risikoaverser Privatanleger}} befasst, die riskante Wertpapiere kaufen wollen. 
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Annahmen \"uber den Kapitalmarkt:}}
\begin{itemize}
\item Vollkommener und effizienter Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten und Steuern. 
\begin{itemize}
\item[(b)] Man kann zu einem fest vorgegebenen Zinssatz risikofrei beliebig Geld anlegen und aufnehmen.
\end{itemize}
\item (c) Wertpapiere sind beliebig teilbar. 
\item (d) Alle Wertpapiere k{\"o}nnen gleichzeitig gekauft werden (d.h., schlie{\ss}en sich nicht gegenseitig aus).
\item Leerverk\"aufe sind zul\"assig. 
\item (e) Es ist bekannt, welche Zust{\"a}nde im Zeitpunkt 1 eintreten k{\"o}nnen und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten den Zust{\"a}nden zuzuordnen sind.
\item (f) Wertpapierrenditen sind normalverteilt, d.h. nur Erwartungswert und Volatilit{\"a}t sind von Interesse. 
\begin{itemize}
\item Dazu sp{\"a}ter mehr. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Annahmen \"uber den Investor:}}
\begin{itemize}
\item Ziel der Investoren ist Verm\"ogensvermehrung.
\item (g) Die Investoren sind rational und risikoavers. 
\item Investoren sind Preisnehmer. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Das Optimierungsproblem}
Annahme: Die Anleger interessieren sich nur f\"ur die Rendite $\mu$ und die Varianz $\sigma^2$ (siehe Annahme oben) und wollen $\mu $ auf ein Zielrisiko $\sigma^2$ maximieren. 

Ferner sei gegeben:
\begin{eqnarray*}
w &=& (w_1,...,w_N) \\
\mu &=& (\mu_1,...,\mu_N) \\
\Sigma &=& \begin{pmatrix} \sigma_{11} &... & \sigma_{1N} \\ ... & ... &... \\ \sigma_{N1} &...& \sigma_{NN} \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

wobei $w$ das Gewicht des risikobehafteten Verm\"ogenswerts, $\mu$ die erwartete Rendite und $\Sigma$ die NxN-Kovarianzmatrix der Verm\"ogenswerte ist. 


Gesucht ist die L\"osung des Optimierungsproblems 
$$ \max \mu^Tw $$ 
unter der Nebenbedingung
$$ w^T\Sigma w = c. $$

Dies wird zu 
$$ \max \mu^Tw - \lambda \cdot w^T\Sigma w,$$
wobei $ ^T$ f\"ur die Transponierte der Matrix steht, $\lambda $ einen Lagrange-Multiplier und $c$ eine Konstante bezeichnet. 
\end{frame}



\begin{frame}{Effizienzlinie: Zwei-Asset-Fall}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/2WP.pdf}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Effizienzlinie: Multi-Asset-Fall}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/MVP.drawio.pdf}
\end{center}

\framebreak

\begin{itemize}
\item Ein effizientes Portfolio bietet geringeres Risiko und besseren Ertrag als das beste einzelne Wertpapier, wenn die Wertpapiere untereinander keine sehr hohe Korrelation aufweisen. 
\item[] $\Rightarrow$ Daher wird der Anleger ein effizientes Portfolio einem einzelnen Wertpapier vorziehen. 
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Bestimmung des optimalen Portfolios}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{In welches Portfolio investieren?}
\begin{itemize}
\item Effiziente Portfolios wurden durch Dominanz{\"u}berlegungen bestimmt. Diese Dominanz{\"u}berlegungen gelten unabh{\"a}ngig von der Risikoeinstellung eines Investors! 
\item Bei der Suche nach dem optimalen Portfolio k{\"o}nnen also die ineffizienten Portfolios ausgeschlossen werden, ohne genaueres {\"u}ber die Risikoeinstellung eines Investors wissen zu m{\"u}ssen. 
\item Zur Bestimmung des optimalen Portfolios f\"ur den einzelnen Anleger aus der Menge der effizienten Portfolios werden die \textbf{\textcolor{uniblau}{individuellen Pr\"aferenzen des Anlegers ben\"otigt}}. \\  \textbf{\textcolor{uniblau}{$\Rightarrow$ Indifferenzkurven}}
\item Im optimalen Portfolio entspricht die Steigung der Indifferenzkurve des Anlegers der Steigung der Effizienzlinie (Tangentialpunkt).
\item Optimales Portfolio: Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Effizienzlinie. 
\item \underline{Grafisch:} Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller ($\mu , \sigma $)- Kombinationen, die ein vorgegebenes Erwartungsnutzenniveau ergeben. 
\end{itemize}

\framebreak

\begin{itemize}
\item In der Theorie gerne genutzte Beispiele f{\"u}r eine Pr{\"a}ferenzfunktion der Anleger wird gerne genutzt: 
\begin{equation*}
\Phi (\mu, \sigma) = \mu - \alpha \ \sigma, 
\end{equation*}
wobei $\alpha $ ($\geq$ 0) die Risikoaversion darstellt.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Multi-Asset-Fall: Indifferenzkurven }
\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/MVP-Indifferenz.drawio.pdf}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Die Effizienzlinie und Indifferenzkurven}
\begin{itemize}
\item Jeder Anleger w\"ahlt das Portfolio, in dem seine individuelle \textbf{\textcolor{uniblau}{Indifferenzkurve}} die \textbf{\textcolor{uniblau}{Effizienzlinie}} \textbf{\textcolor{uniblau}{tangiert}}.
\item Die Anleger halten aufgrund ihrer unterschiedlichen Risikopr\"aferenzen jeweils \textbf{\textcolor{uniblau}{verschiedene effiziente Portfolios}}. 
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Tobin-Separation}
\begin{itemize}
\item Tobin erweiterte 1958 das Markowitz-Modell durch sein \glqq Separationstheorem{\grqq}, indem er einen \textbf{\textcolor{uniblau}{risikofreien}} \textbf{\textcolor{uniblau}{Zinssatz}} (z.B. Staatsanleihen, Spareinlagen) mit dem Zins $r_f$ einf\"uhrte.
\item Demnach gibt es nur ein \textbf{\textcolor{uniblau}{universales}} \textbf{\textcolor{uniblau}{Idealportfolio}} f\"ur alle, das sog. \textbf{\textcolor{uniblau}{Tangentialportfolio}}. Die pers\"onliche Risikotoleranz ist f\"ur die Bestimmung dieses Tangentialportfolios irrelevant. 
\item \textbf{\textcolor{uniblau}{Je nach pers\"onlicher Risikobereitschaft}} investiert der Anleger entweder mehr in das Tangentialportfolio mit risikoreichen Anlagen oder mehr in die \glqq sicheren{\grqq} Anlagen.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{figures/MVP-Tobin.drawio.pdf}
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}{Tobin-Separation}
Somit ergibt sich: \\
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item Erwartete Rendite: 
$\E[r_P] = w_fr_f+(1-w_f)\E[r_i]$
\item Volatilit\"at:
$\sigma_P = (1-w_f)\sigma_i$
\item Der risikolose Zinssatz er\"offnet dem Anleger \textbf{\textcolor{uniblau}{zus{\"a}tzliche M\"oglichkeiten}}. Durch die Aufnahme zus\"atzlichen Kapitals kann er Renditen erzielen, die vorher nicht m\"oglich gewesen w\"aren.
\item Das \textbf{\textcolor{uniblau}{Risiko}} h\"angt ausschlie{\ss}lich davon ab, wie hoch der \textbf{\textcolor{uniblau}{Anteil des Tangentialportfolios}} ist, den der Anleger h\"alt.
\end{itemize}
\end{frame}




\subsection{Bestimmung risikoeffizienter Portfolios}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Bestimmung risikoeffizienter Portfolios}
\begin{itemize}
\item Ein Kapitalanleger m{\"o}chte einen bestimmten Geldbetrag f{\"u}r eine Periode in Wertpapiere/Investitionsprojekte (risikolos und risikobehaftet) anlegen. 
Ergebnisgr{\"o}\ss e: Endverm{\"o}gen $\widetilde{EV}$ oder Portfoliorendite $\tilde r_{PF}$, da $\widetilde{EV}$ = $AV(1+\widetilde r_{PF})$). 
\item Wie gehen wir dabei vor? 
\begin{itemize}
\item bei Sicherheit: Investiere in das Wertpapier, das die h{\"o}chste Rendite abwirft. 
\item bei Unsicherheit: Risiko muss ber{\"u}cksichtigt werden. $\rightarrow$ Abw{\"a}gen zwischen Ertrag und Risiko mit dem Ziel einer geeigneten Risikomischung. 
\end{itemize}

\framebreak

\item Portfoliorendite: $\tilde r_{PF} = x_A \cdot \tilde r_A + x_B \cdot \tilde r_B + x_s \cdot k$ \\[7pt]
\item Oder Endverm{\"o}gen: $\widetilde {EV} = x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s \cdot (1+k)$\\[7pt]
\item Erwartungswert und Varianz bestimmen! 
\end{itemize}

\framebreak

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{figures/EFnurRisiko.pdf}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Risikoeffiziente Portfolios liegen auf markiertem Bereich. 
\item $\rho$ = Korrelationskoeffizient als Ma{\ss} f{\"u}r den Zusammenhang zwischen den Wertpapieren. 
\end{itemize}

\framebreak

\begin{center}
\includegraphics[width=9cm]{figures/EFauchRisikolos.pdf}
\end{center}

\framebreak

$x_1, x_2, x_s$: wertm{\"a}\ss iger Anteil von Wertpapier $i$ am Gesamtportfolio. 

$\rightarrow$ \glqq neue\grqq\ Effizienzlinie (Tangente) wird durch zwei Punkte beschrieben. \\[7pt]
\begin{itemize}
\item $(\mu,\sigma)$-Kombination der risikolosen Geldanlage $(x_s=1)$.\\[7pt]
\item Tangentialpunkt an die \glqq alte\grqq\ Effizienzlinie $(x_s=0;x_T=1)$.\\[7pt]
\item Das Verh{\"a}ltnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander ist in den PFs auf der Effizienzlinie immer gleich. 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Bestimmung risikoeffizienter Portfolios}
\uline{2 Ans{\"a}tze:}\\[7pt]
\begin{enumerate}
\item endverm{\"o}gensorientierter Ansatz\\[7pt]
\item renditeorientierter Ansatz
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Endverm{\"o}gensorientierter Ansatz:}
\begin{tabular}{lrll}
Sei & $P_0^A:$& Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,\\[7pt]
& $P_0^B:$ & Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,\\[7pt]
& $\tilde{P}_1^A:$ & stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,\\[7pt]
& $\tilde{P}_1^B:$ & stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,\\[7pt]
& $k:$ & risikoloser Zinssatz f{\"u}r Geldanlage von einer Periode, \\[7pt]
& $W_0:$& Anfangsverm{\"o}gen,\\[7pt]
& $x_A/x_B:$& St{\"u}ckzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0\\
&           & gekauft wird,\\[7pt]
& $x_s:$& Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird.\\[7pt]
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Endverm{\"o}gensorientierter Ansatz:}
Es gilt:\\[7pt]

\begin{tabular}{llll}
$t= 0:$ & $x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B + x_s = W_0$\\[7pt]
\end{tabular}

\begin{tabular}{llll}
$t= 1:$ & $\widetilde{EV}$& $=$ & $x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)$\\[7pt]
 & & $=$ & $x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B$ \\[7pt]
 & & & $+ (W_0-x_A \cdot P_0^A - x_B \cdot P_0^B)(1+k)$\\[7pt]
 & & $=$ & $x_A (\tilde P_1^A - P_0^A(1+k)) + x_B(\tilde P_1^B - P_0^B(1+k)) $\\[7pt]
&&& $+W_0(1+k)$\\[7pt]
\end{tabular}\\

\begin{tabular}{|llll|}
\hline  $\Leftrightarrow$ & $\widetilde{EV}$& $=$ $x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0(1+k)$ &  \\ \hline 
\end{tabular}~\\[7pt]

\begin{tabular}{llll}
 & & mit $\widetilde{RP}_i \mathrel{\widehat{=}}$ Risikopr{\"a}mie von Wertpapier i (i = A,B)\\
\end{tabular}\\
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Endverm{\"o}gensorientierter Ansatz:}~\\
\uline{Risikoeffiziente Portfolios}\\[7pt]

\begin{tabular}{lcl}
$\var$\lbrack $\widetilde{EV}$\rbrack $\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$ &   &$\E$\lbrack $\widetilde{EV}$\rbrack $\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$\\
& ~~~~~~ODER~~~~~~ &\\
u. d. NB. & & u. d. NB.\\
$\E$\lbrack $\widetilde{EV}$\rbrack = c = const. & & $\var$\lbrack $\widetilde{EV}$\rbrack = c = const.
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Endverm{\"o}gensorientierter Ansatz:}~\\
\uline{L{\"o}sung: Lagrange-Ansatz}\\[7pt]

\underline{Berechnung von $\E\lbrack \widetilde{EV}\rbrack $ und $\var \lbrack \widetilde{EV}\rbrack$:}\\[-14pt]
\begin{eqnarray*}
\E[\widetilde{EV}] & = & \E[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
& = & \fbox{$x_A \cdot \E[\widetilde{RP}_A] + x_B \cdot \E[\widetilde{RP}_B] + W_0 \cdot (1+k)$} \\[14pt]
\var[\widetilde{EV}] & = & \var[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
& = & \var[x_A \cdot \widetilde{RP}_A + x_B \cdot \widetilde{RP}_B ] \\[7pt]
& = & x_A^2 \cdot \var[\widetilde{RP}_A] + x_B^2 \cdot \var[\widetilde{RP}_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cov[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] \\[7pt]
& \stackrel{(*)}{=} & \fbox{$x_A^2 \cdot \var[\tilde P_1^A] + x_B^2 \cdot \var[\tilde P_1^B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \cov[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]$}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Endverm{\"o}gensorientierter Ansatz:}~\\
Es gilt $(*)$:
\begin{eqnarray*}
\var[\widetilde{RP}_A] & = & \var[\tilde P_1^A - P_0^A \cdot(1+k)] = \var[\tilde P_1^A] \\[7pt]
\cov[\widetilde{RP}_A; \widetilde{RP}_B] & = & \text{Cov}[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B] 
\end{eqnarray*}

Falls Cov nicht angegeben, aber $\rho$
\begin{eqnarray*}
\rho_{A,B} & = & \frac{\cov[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]}{\sqrt{\var[\tilde P_1^A] \cdot \var[\tilde P_1^B]}}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Renditeorientierter Ansatz:}~\\
\begin{tabular}{lrl}
Sei & $\tilde r_A, \tilde r_B:$ & stochastische Rendite Wertpapier A/B \\[7pt]
& $\tilde r_{PF}:$ & stochastische Portfoliorendite \\[7pt]
& $x_A,x_B,x_s:$ & wertm{\"a}{\ss}iger Anteil von Wertpapier $i$ am \\
&&GesamtPortfolio\\[7pt]
& $k:$ & risikoloser Zinssatz\\
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Renditeorientierter Ansatz:}~\\
Es gilt:\\[7pt]
\begin{tabular}{llll}
$t= 0:$ & $x_A + x_B + x_s = 1$\\[7pt]
\end{tabular}

\begin{tabular}{llll}
$t= 1:$ & $\tilde r_{PF}$ & $=$ & $x_A \cdot \tilde r_A + x_B \cdot \tilde r_B + x_s \cdot k$\\[7pt]
 & & $=$ & $x_A \cdot \tilde r_A + x_B \cdot \tilde r_B + (1 - x_A - x_B) \cdot k$\\[7pt]
 & & $=$ & $x_A \cdot (\tilde r_A - k) + x_B \cdot (\tilde r_B - k) + k$\\[7pt]
 & & $=$ & $x_A \cdot (\widetilde{rp}_A) + x_B \cdot (\widetilde{rp}_B) + k$\\[7pt]
\end{tabular}~\\
mit $\widetilde{rp}_i \stackrel{\widehat{}}{=}$ Risikopr{\"a}mie von Wertpapier $i$ [in \% $(i=A,B)$]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Renditeorientierter Ansatz:}~\\
\underline{Risikoeffiziente Portfolios}\\[7pt]
\begin{tabular}{lcl}
$\var$\lbrack $\tilde r_{PF}$\rbrack $\rightarrow  \min\limits_{x_A,x_B}$ & & $\E$\lbrack $\tilde r_{PF}$\rbrack $\rightarrow \max\limits_{x_A,x_B}$\\
& ~~~~~~ODER~~~~~~ &\\
u.\,d.\,NB. & & u.\,d.\,NB.\\
$\E$\lbrack $\tilde r_{PF}$\rbrack = c = const. & & $\var$\lbrack $\tilde r_{PF}$\rbrack = c = const.
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Renditeorientierter Ansatz:}~\\
\underline{Berechnung von $\E\lbrack \tilde r_{PF} \rbrack $ und $\var\lbrack \tilde r_{PF} \rbrack$:}
\begin{eqnarray*}
\E[\tilde r_{PF}] & = & \E[x_A \cdot \widetilde{rp}_{A} + x_B \cdot \widetilde{rp}_{B} + k] \\[7pt]
 & = & \fbox{$x_A \cdot \E[\widetilde{rp}_A] + x_B \cdot \E[\widetilde{rp}_B] + k$} \\[14pt]
\var[\tilde r_{PF}] & = & \var[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B + k] \\[7pt]
& = & \var[x_A \cdot \widetilde{rp}_A + x_B \cdot \widetilde{rp}_B ] \\[7pt]
& = & \ldots \\[7pt]
%& & = x_A^2 \cdot Var[\tilde RP_A] + x_B^2 \cdot Var[\tilde RP_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B Cov[\tilde RP_A; \tilde RP_B] 
& = & \fbox{$x_A^2 \cdot \var[\tilde r_A] + x_B^2 \cdot \var[\tilde r_B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cdot \cov[\tilde r_A; \tilde r_B]$}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz}~\\
%\underline{Symbole definieren:} \\
\begin{tabular}{lrll}
Sei & $P_0^A:$& Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,\\[7pt]
& $P_0^B:$ & Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0,\\[7pt]
& $\tilde{P}_1^A:$ & stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1,\\[7pt]
& $\tilde{P}_1^B:$ & stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1,\\[7pt]
& $k:$ & risikoloser Zinssatz f{\"u}r Geldanlage von einer Periode \\[7pt]
& $W_0:$& Anfangsverm{\"o}gen,\\[7pt]
& $x_A/x_B:$& St{\"u}ckzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0\\
&& gekauft wird,\\[7pt]
& $x_s:$& Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird,
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz}~\\
\begin{tabular}{lrll}
& $\tilde r_A , \tilde r_B:$& stochastische Rendite von Wertpapier A/B,\\[7pt]
& $\tilde r_{PF} :$ & stochastische Portfoliorendite,\\[7pt]
& $x'_i:$ & wertm{\"a}\ss iger Anteil von Wertpapier $i$ $(i= A,B,s)$ \\
&& am GesamtPortfolio.\\[7pt]
\end{tabular}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz}~\\
\begin{tabular}{ll}
$t= 0:$ & $x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B + x_s = W_0$\\[7pt]
\end{tabular}
$t= 1:$\\
\begin{tabular}{lcll}
&$\widetilde{EV}$& $=$ & $x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)$\\[7pt]
$\Rightarrow$ & $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$ & $=$ & $\frac{x_A \cdot \tilde P_1^A + x_B \cdot \tilde P_1^B + x_s(1+k)-(x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B+x_{s})}{W_{0}}$\\[7pt]
$\Rightarrow$ & $\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}$& $=$ & $\frac{x_A (\tilde P_1^A - P_0^A)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^A}{P_0^A} + \frac{x_B(\tilde P_1^B - P_0^B)}{W_{0}}\cdot \frac{P_0^B}{P_0^B} +\frac{x_s}{W_{0}}\cdot k$\\[14pt]
$\Rightarrow$ & $\underbrace{\frac{\widetilde{EV} - W_{0}}{W_{0}}}_{\tilde r_{EV}}$& $=$ & $\underbrace{\frac{x_A  P_0^A}{W_{0}}}_{x'_{A}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^A - P_0^A)}{P_0^A}}_{\tilde r_{A}} + \underbrace{\frac{x_B  P_0^B}{W_{0}}}_{x'_{B}}\cdot \underbrace{\frac{(\tilde P_1^B - P_0^B)}{P_0^B}}_{\tilde r_{B}}+\underbrace{\frac{x_s}{W_{0}}}_{x'_{s}} k$\\
&&&\\
$\Leftrightarrow $ & $\tilde r_{EV}$ & $=$ & $ x'_{A}\cdot \tilde r_{A} + x'_{B}\cdot \tilde r_{B} + x'_{s}\cdot k$ \\
\end{tabular}\\
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz}~\\
Es gilt:
\begin{eqnarray*}
\frac{x_A \cdot P_0^A}{W_0} + \frac{x_B \cdot P_0^B}{W_0} + \frac{x_s}{W_0} = 1 & \Leftrightarrow & x_A^{'} + x_B^{'} + x_s^{'} = 1
\end{eqnarray*}
\end{frame}




\begin{frame}{Performancema\ss{}stab}
\hypertarget{sharpe}{}
\begin{itemize}
\item Mit der Messung der relativen Performance soll die Frage beantwortet werden, ob das gew\"ahlte Portfolio die festgelegte Benchmark \"uber einen bestimmten Zeitraum risikoadjustiert \"ubertroffen hat.
\item Die Sharpe-Ratio berechnet die \textbf{\textcolor{uniblau}{erzielte \"Uberschussrendite}} des Portfolios \textbf{\textcolor{uniblau}{im Verh\"altnis zum Gesamtrisiko}} des Portfolios: $$SR_P = \frac{\E[r_P]- r_f}{\sigma_P}$$
\item Die Ratio entspricht der erzielten \"Uberrendite pro angenommener Volatilit\"atseinheit. Ziel ist es, einen m\"oglichst hohen SR-Wert zu erreichen.
\end{itemize}

\hyperlink{beispiel-portfolio}{\beamerbutton{Beispiel}} 

\end{frame}

\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Grenzen und Kritik des Modells}
\begin{itemize}
\item Kritik an den Grundannahmen des Modells. 
\begin{itemize}
\item $\Rightarrow$ s. bspw. Normalverteilungsannahme
\item Rationalit\"at des Investors ist fraglich $\Rightarrow$ s. Behavorial Finance
\item In der Praxis m{\"u}ssen die Transaktionskosten und die Effizienz des Optimierungsverfahrens ber{\"u}cksichtigt werden. 
\end{itemize}
\item Bestimmung der erwarteten Renditen und Volatilit\"aten ausschlie{\ss}lich anhand historischer Daten. 
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Sch\"atzfehler oder Strukturbr{\"u}che
\end{itemize}
\item Dynamische Korrelationen von Anlageklassen in Krisensituation etc.
\item Die Anlegerpr{\"a}ferenzen lassen sich nur schwer in Zahlen ausdr\"ucken. 
\item Optimierte Portfolios weisen oft extreme Allokationen auf, z.B. einen hohen Anteil an Leerverk{\"a}ufen. In der Praxis ist das eher nicht machbar oder sinnvoll.
\item Die Portfoliogewichte reagieren empfindlich auf {\"A}nderungen der Modellparameter.
\item Optimale L{\"o}sungen {\"u}bergewichten Verm{\"o}genswerte mit h{\"o}heren Renditeerwartungen.
\end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}{Normalverteilung vs. empirische Verteilung}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{figures/msciworld.pdf}
\end{center}
\vspace{-2ex}
\begin{tiny}
Empirische Verteilung Renditen des MSCI World Index und der Normalverteilung
\end{tiny}
\end{frame}
%%%% more peakedness
%%%% overfitting in the center of the data
%%%% too much weight in the left tail
%%%% -> leptokurtosis


\begin{frame}
\frametitle{Stylisierte Fakten zu Finanzzeitreihen}
\begin{itemize}
\item Wie die vorstehende Abbildung zeigt, weisen (viele) Finanzzeitreihen \textbf{\textcolor{uniblau}{nicht-normalverteilte}} Merkmale auf.
\item Diese Merkmale betreffen die univariaten Verteilungen mit \"uberm\"a{\ss}iger \textbf{\textcolor{uniblau}{Kurtosis}} (fat tails) und \textbf{\textcolor{uniblau}{Schiefe}},  
\item Aber auch die multivariaten Verteilungen mit \textbf{\textcolor{uniblau}{nichtlinearen}} Abh\"angigkeitsstrukturen. 
\item So sind beispielsweise gemeinsame B\"orsencrashs weitaus h\"aufiger als gemeinsame Aufschw\"unge.
\end{itemize}  
\end{frame}


\begin{frame}{Naive 1/N-Allokation}
\hypertarget{1durchN}{}
\begin{itemize}
\item Naive Diversifikation ist die \textbf{\textcolor{uniblau}{unkomplizierte Aufteilung}} eines Portfolios \textbf{\textcolor{uniblau}{auf N Verm\"ogenswerte}}.
\item Neuere Studien zur Verm\"ogensallokation wie \citet{demiguel-2007} und \citet{tu-2011} kommen zu dem Schluss, dass die einfache Allokationsregel 1/N gute Resultate liefert. 
\item Im Vergleich zu anderen, komplizierteren Asset-Allocation-Strategien, einschlie{\ss}lich des Markowitz-Portfolios, schneidet es bei der \textbf{\textcolor{uniblau}{Sharpe-Ratio gut}} ab.
\item Fazit: Diversifikation ist unabdingbar, aber der \textbf{\textcolor{uniblau}{Nutzen fortgeschrittener mathematischer Modelle ist unklar}}.
\end{itemize}
\hyperlink{Diversifikationseffekt}{\beamerbutton{Diversifikationseffekt}} 
\end{frame}


\section{Zusammenfassung und Ausblick}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Zusammenfassung und Ausblick}
\begin{itemize}
\item Heute haben wir uns mit der Bewertung von \textbf{\textcolor{uniblau}{Anlagealternativen unter Risiko}} besch{\"a}ftigt. 
\item Wir sind jetzt in der Lage, einzelne Zahlungsstr{\"o}me unter Risiko zu bewerten. 
\item Ebenfalls haben wir die \textbf{\textcolor{uniblau}{Kombination von verschieden Anlagealternativen}} zu \textbf{\textcolor{uniblau}{Portfolios}} diskutiert. 
\framebreak
\item Bisher haben wir bei der Berechnung des Barwertes jedoch die Cash Flows aller Perioden mit einem konstanten Abzinsungsfaktor berechnet. 
\item In der Realit{\"a}t unterscheiden sich aber h{\"a}ufig kurzfristige und langfristige Zinss{\"a}tze. 
\item Der Zusammenhang zwischen kurzfristigen und langfristigen Zinss{\"a}tzen wird mittels der \textbf{\textcolor{uniblau}{Theorie der Zinsstruktur}} beschrieben.
\item In der n{\"a}chsten Vorlesung besch{\"a}ftigen wir uns aber erst mit \textbf{\textcolor{uniblau}{Kapitalmarktmodellen}}, genauer mit dem CAPM. 
\end{itemize}
\end{frame}


\section{Literatur}
\begin{frame}[allowframebreaks]
\frametitle{Literatur}
\bibliographystyle{ecta}
\begin{scriptsize}
\bibliography{literature}
\end{scriptsize}
\end{frame}

\end{document}