Dataset Viewer
id
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
mediatrice_0000
|
Nombres Complexes
|
ENSEMBLE DES POINTS
|
[
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"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 3 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = -4 + 3 iz + 4\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 3 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z + 4 - 3 iz - 4\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - \\frac{4}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3} x - \\frac{4}{3}$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "1",
"z_B": "-4*I/3",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$12 + 6 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = 12 - 6 iz - 4\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - (x^2 + y^2 ) \\times 4 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +1)^2 = \\frac{13}{4}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $-1$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
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],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{3 i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$3 + 2 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 3 - 2 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 2 i - 2iy \\times 3 - (x^2 + y^2 ) \\times 4 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 1x + \\frac{3}{2}y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{13}{16}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{4}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $"
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"donnees": [
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"z_A": "1",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = -2 + 2 iz + 2\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + 2 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z + 2 - 2 iz - 2\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1 x - 1$ \\\\\\\\",
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"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
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"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
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"enonce": [
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"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -2 + iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2 + i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 2 - iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 4 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 4 x + 4 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 4 x - 4 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2 x - 2$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{1 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{1 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + i } {z + 2i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "1",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-2 + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 9 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = -12 + 9 iz + 4\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 9 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z + 12 - 9 iz - 4\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 8 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 8 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{9} x - \\frac{4}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{9} x - \\frac{4}{3}$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-4*I/3",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + i } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$1$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{4 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{4 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 3 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (4 - 3 iz )$\\\\\\\\$8 + 6 i \\overline z - 4z - 3 i z \\overline z = 8 - 6 iz - 4\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 4z + 4\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 4 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 6 i - 2iy \\times 4 - (x^2 + y^2 ) \\times 6 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{4}{3}y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 - (\\frac{2}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{2}{3})^2 = \\frac{13}{9}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{2}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{3}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {4}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{4}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{4}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (4 - 3 iz)}{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 4i +3z }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i }{3(4 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 4i } {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {4}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {4i}{- 9 i}} {\\frac {4}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-4*I/3",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{4 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{4 i}{3} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{4}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{4}{3}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 2 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -4 + 2 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 2 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 4 - 2 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 2 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 2 x - 2$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 2 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 2} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "1",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + \\frac{i}{2} } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = -9 + 6 iz + 3\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 6 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z + 9 - 6 iz - 3\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - \\frac{3}{2} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2} x - \\frac{3}{2}$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + \\frac{3 i}{2} } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -6 + 2 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 2 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 6 - 2 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 2 iz + 2 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 2 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 2 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{3}{2} x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{3}{2} x - 3$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{2 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{2 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $"
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"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I"
}
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"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 3 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-3 + 2 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{3 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{3 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (3 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$6 + 6 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 6 - 6 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 6 i \\overline z + 6 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 6 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 6 i - 2iy \\times 2 - (x^2 + y^2 ) \\times 4 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 3x + 1y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{3}{2})^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{3}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + \\frac{3 i}{2} } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{4 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (4 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow12 + 3 i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -12 + 3 iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12 + 3 i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 12 - 3 iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 24 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 8 x + 24 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 8 x - 24 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{4}{3} x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{4}{3} x - 4$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{3 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{3 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 4 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-4 + 3 i } {z + 4i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -6 + 6 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 6 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 6 - 6 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 6 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 6 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{2} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{2} x - 1$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $"
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"donnees": [
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"z_A": "2",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{2 i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 3 i \\overline z - 3z - i z \\overline z = -9 + 3 iz + 3\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 3 i \\overline z - 3z - i z \\overline z + 9 - 3 iz - 3\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 3 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1 x - 3$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{3 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{3 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $"
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"donnees": [
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"z_C": "-I"
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"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 3 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-3 + 3 i } {z + 3i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{2 - iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (2 + i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = -6 + 3 iz + 2\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6 + 3 i \\overline z - 2z - i z \\overline z + 6 - 3 iz - 2\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 3 iz + 3 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 3 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 12 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 3 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y - 4 x + 12 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 6y = 4 x - 12 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{2}{3} x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{2}{3} x - 2$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{3 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{3 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{3 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{3 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {3}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $"
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"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-2 + 3 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
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"type": "ensemble des points"
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" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
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"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $"
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"donnees": [
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"z_A": "1",
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"z_C": "-I/3"
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"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + \\frac{i}{3} } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = -4 + 6 iz + 2\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + 6 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z + 4 - 6 iz - 2\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 6 iz + 6 i \\overline z - 2z - 2\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 6 i (z - \\overline z ) - 2( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 6 i \\times 2iy - 2 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y - 4 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 12y = 4 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - \\frac{2}{3} $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3} x - \\frac{2}{3}$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 6 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 6} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-2*I/3",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{2 i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = - \\overline{\\frac{3 - z }{3 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } = -\\frac{3 - \\overline z }{3 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (3 - z ) (3 + 3 i \\overline z) = - (3 - \\overline z ) (3 - 3 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z = -9 + 9 iz + 3\\overline z - 3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 9 + 9 i \\overline z - 3z - 3 i z \\overline z + 9 - 9 iz - 3\\overline z + 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 9 iz + 9 i \\overline z - 3z - 3\\overline z + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 9 i (z - \\overline z ) - 3( z + \\overline z ) + 18 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 9 i \\times 2iy - 3 \\times 2x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y - 6 x + 18 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 18y = 6 x - 18 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = \\frac{1}{3} x - 1 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = \\frac{1}{3} x - 1$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{3 - z }{3 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|3 - z | }{|3 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {3}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|3 - z | }{3 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|3 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(3 - z ) \\times 3 + i (3 - 3 iz)}{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 - 3z + 3i +3z }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i }{3(3 - 3 iz) }$$ = \\frac { 9 + 3i } {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {3}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 9} {- 9 i} + \\frac {3i}{- 9 i}} {\\frac {3}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "3",
"z_B": "-I",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 3 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{3 - z }{3 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{1}{3} + i } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - iz )$\\\\\\\\$4 + 2 i \\overline z - 2z - i z \\overline z = 4 - 2 iz - 2\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 2 i \\overline z + 2 iz - 2z + 2\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 2 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 2 i - 2iy \\times 2 - (x^2 + y^2 ) \\times 2 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +1)^2 - (1)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +1)^2 = 2$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-1$) et de rayon r = $\\sqrt{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {2}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{2 - z }{2 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (2 - iz ) } {2 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 2i + z } {2 - iz }$ $ = \\frac{2 + 2i } {2 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{2i}{- i} ) } { - i ( z + 2i) }$ $= \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-2 + 2 i } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{4}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{2 - 3 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } = \\frac{1 - \\overline z }{2 + 3 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (2 + 3 i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (2 - 3 iz )$\\\\\\\\$2 + 3 i \\overline z - 2z - 3 i z \\overline z = 2 - 3 iz - 2\\overline z +3 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 3 i \\overline z + 3 iz - 2z + 2\\overline z - 3 i z \\overline z - 3 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 3 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 6 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 3 i - 2iy \\times 2 - (x^2 + y^2 ) \\times 6 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 6 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 1x + \\frac{2}{3}y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 - (\\frac{1}{3})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{1}{3})^2 = \\frac{13}{36}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{1}{3}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{13}}{6}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{2 - 3 iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|2 - 3 iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- 3 i | | ( \\frac {2}{- 3 i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{3 | (z + \\frac{2}{3}i )| } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + \\frac{2}{3}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{3} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{3}$ alors $ OM'=\\frac{1}{3}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{3}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } + \\frac{1}{3}i$$ = \\frac {(1 - z ) \\times 3 + i (2 - 3 iz)}{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 - 3z + 2i +3z }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i }{3(2 - 3 iz) }$$ = \\frac { 3 + 2i } {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {- 9 i ( \\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i})} {- 9 i( \\frac {2}{-3 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 3} {- 9 i} + \\frac {2i}{- 9 i}} {\\frac {2}{-3 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "1",
"z_B": "-2*I/3",
"z_C": "-I/3"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - \\frac{2 i}{3} $ et $z_C = - \\frac{i}{3} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{2 i}{3} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{2 - 3 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{3} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{3}i = \\frac{-\\frac{2}{9} + \\frac{i}{3} } {z + \\frac{2}{3}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } = - \\overline{\\frac{2 - z }{4 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } = -\\frac{2 - \\overline z }{4 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (4 + 2 i \\overline z) = - (2 - \\overline z ) (4 - 2 iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow8 + 4 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z = -8 + 4 iz + 4\\overline z - 2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8 + 4 i \\overline z - 4z - 2 i z \\overline z + 8 - 4 iz - 4\\overline z + 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - 4 iz + 4 i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - 4 i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 16 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - 4 i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y - 8 x + 16 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 8y = 8 x - 16 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 1 x - 2 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 1 x - 2$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {4}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + 2i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 2i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (4 - 2 iz)}{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 4i +2z }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i }{2(4 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 4i } {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {4}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {4i}{- 4 i}} {\\frac {4}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-2*I",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - 2 i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 2 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-1 + i } {z + 2i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\overline{\\frac{1 - z }{3 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{3 - iz } = \\frac{1 - \\overline z }{3 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (3 + i \\overline z) = (1 - \\overline z ) (3 - iz )$\\\\\\\\$3 + i \\overline z - 3z - i z \\overline z = 3 - iz - 3\\overline z +iz \\overline z $ \\\\\\\\$ i \\overline z + iz - 3z + 3\\overline z - i z \\overline z - iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 2 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times i - 2iy \\times 3 - (x^2 + y^2 ) \\times 2 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 1x + 3y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 - (\\frac{3}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -\\frac{1}{2})^2 + (y +\\frac{3}{2})^2 = \\frac{5}{2}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($\\frac{1}{2}$ , $- \\frac{3}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{10}}{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{3 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|3 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {3}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 3i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 3i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{1 - z }{3 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (3 - iz ) } {3 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 3i + z } {3 - iz }$ $ = \\frac{1 + 3i } {3 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{3i}{- i} ) } { - i ( z + 3i) }$ $= \\frac{-3 + i } {z + 3i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "1",
"z_B": "-3*I",
"z_C": "-I"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - 3 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 3 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{3 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-3 + i } {z + 3i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{5}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{3 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{3 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (3 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (3 - 2 iz )$\\\\\\\\$6 + 4 i \\overline z - 3z - 2 i z \\overline z = 6 - 4 iz - 3\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 3z + 3\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 3 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 4 i - 2iy \\times 3 - (x^2 + y^2 ) \\times 4 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + \\frac{3}{2}y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 - (\\frac{3}{4})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{3}{4})^2 = \\frac{25}{16}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{3}{4}$) et de rayon r = $\\frac{5}{4}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{3 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|3 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {3}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + \\frac{3}{2}i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + \\frac{3}{2}i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (3 - 2 iz)}{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 3i +2z }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i }{2(3 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 3i } {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {3}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {3i}{- 4 i}} {\\frac {3}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $"
],
"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-3*I/2",
"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - \\frac{3 i}{2} $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - \\frac{3 i}{2} $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{3 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{3}{4} + i } {z + \\frac{3}{2}i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{6}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\overline{\\frac{2 - z }{2 - 2 iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } = \\frac{2 - \\overline z }{2 + 2 i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (2 - z ) (2 + 2 i \\overline z) = (2 - \\overline z ) (2 - 2 iz )$\\\\\\\\$4 + 4 i \\overline z - 2z - 2 i z \\overline z = 4 - 4 iz - 2\\overline z +2 iz \\overline z $ \\\\\\\\$ 4 i \\overline z + 4 iz - 2z + 2\\overline z - 2 i z \\overline z - 2 iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$ 4 i (z+ \\overline z ) - 2 ( z - \\overline z ) - 4 i z \\overline z = 0 $ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ et $ z \\overline z = x^2 + y^2 : $ \\\\\\\\",
"$2x \\times 4 i - 2iy \\times 2 - (x^2 + y^2 ) \\times 4 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 4 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 1y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 - (\\frac{1}{2})^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +\\frac{1}{2})^2 = \\frac{5}{4}$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $- \\frac{1}{2}$) et de rayon r = $\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{2 - 2 iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|2 - 2 iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- 2 i | | ( \\frac {2}{- 2 i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{2 | (z + i )| } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{2}$ alors $ OM'=\\frac{1}{2}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{2}$\\\\\\\\",
" $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } + \\frac{1}{2}i$$ = \\frac {(2 - z ) \\times 2 + i (2 - 2 iz)}{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 - 2z + 2i +2z }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i }{2(2 - 2 iz) }$$ = \\frac { 4 + 2i } {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {- 4 i ( \\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i})} {- 4 i( \\frac {2}{-2 i} +z) }$$ = \\frac {\\frac { 4} {- 4 i} + \\frac {2i}{- 4 i}} {\\frac {2}{-2 i} +z }$$ = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $"
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"donnees": [
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"z_A": "2",
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"z_C": "-I/2"
}
],
"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - i $ et $z_C = - \\frac{i}{2} $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{2 - 2 iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $|z'| = \\frac{1}{2} \\frac{AM}{BM}$ Déduire que lorsque M décrit la médiatrice de segment [AB] \\\\\\\\alors M' décrit un cercle que l'on précisera\\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ \\frac{1}{2}i = \\frac{-\\frac{1}{2} + i } {z + i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
],
"type": "ensemble des points"
},
{
"correction": [
" \\textbf {b°)} On a $z'$ est imaginaire pure si et seulement si $z' = - \\overline z' $\\\\\\\\",
"$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = - \\overline{\\frac{1 - z }{4 - iz }}$ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow \\frac{1 - z }{4 - iz } = -\\frac{1 - \\overline z }{4 + i \\overline z }$\\\\\\\\$\\Leftrightarrow (1 - z ) (4 + i \\overline z) = - (1 - \\overline z ) (4 - iz )$\\\\\\\\$ \\Leftrightarrow4 + i \\overline z - 4z - i z \\overline z = -4 + iz + 4\\overline z - iz \\overline z $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 4 + i \\overline z - 4z - i z \\overline z + 4 - iz - 4\\overline z + iz \\overline z = 0 $ \\\\\\\\$\\Leftrightarrow - iz + i \\overline z - 4z - 4\\overline z + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow - i (z - \\overline z ) - 4( z + \\overline z ) + 8 = 0$ \\\\\\\\On pose $z = x + iy $ alors : $ z +\\overline z = 2x , z - \\overline z = 2iy $ \\\\\\\\",
"$ \\Leftrightarrow - i \\times 2iy - 4 \\times 2x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y - 8 x + 8 = 0$ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow 2y = 8 x - 8 $ \\\\\\\\$ \\Leftrightarrow y = 4 x - 4 $ Ainsi l'ensemble des points M est la droite d'équation : $y = 4 x - 4$ \\\\\\\\",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{1 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|1 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|1 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|1 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{1 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{1 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{1 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{1 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {1}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + i } {z + 4i} $"
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"donnees": [
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"z_A": "1",
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"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 1 , z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 4 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{1 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est imaginaire pure\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-4 + i } {z + 4i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{2}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
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"type": "ensemble des points"
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"correction": [
" \\textbf {1°)a°)} On a $z'$ est réel si et seulement si $z' = \\overline z' $ \\\\\\\\",
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"$2x \\times 2 i - 2iy \\times 4 - (x^2 + y^2 ) \\times 2 i =0 $ \\\\\\\\On divise par : $- 2 i $ on obtient : $ x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0 $ \\\\\\\\",
" \\\\[0.01em] $ \\Leftrightarrow (x -1)^2 - (1)^2 + (y +2)^2 - (2)^2 = 0 $ \\\\[0.01 em]",
"$ \\Leftrightarrow (x -1)^2 + (y +2)^2 = 5$ \\\\[0.01 em]",
"l'ensemble des points $M$ est un cercle de centre I($1$ , $-2$) et de rayon r = $\\sqrt{5}$ \\\\\\\\ ",
"\\textbf{b°)} on a : $ |z'| = | \\frac{2 - z }{4 - iz }| $ $ = \\frac{|2 - z | }{|4 - iz | } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{|- i | | ( \\frac {4}{- i} + z )| } $ $ = \\frac{|2 - z | }{1 | (z + 4i )| } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|2 - z | }{| z + 4i | } $\\\\\\\\ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{|z_A - z | }{| z -z_B | } $ $ = \\frac{1}{1} \\times \\frac{AM }{BM} $ Alors : $|z'| = \\frac{1}{1} \\frac{AM }{BM} $ . \\\\\\\\ lorsque M décrit la mediatrice de segment [AB] : AM = BM donc $\\frac{AM }{BM} = 1 $ donc $|z'| = \\frac{1}{1}$ alors $ OM'=\\frac{1}{1}$ Ainsi M' décrit le cercle de centre O et de rayon $\\frac{1}{1}$\\\\\\\\",
" $ z'+ i = \\frac{2 - z }{4 - iz } + i$$ = \\frac{2 - z + i \\times (4 - iz ) } {4 - iz }$$ = \\frac{2 - z + 4i + z } {4 - iz }$ $ = \\frac{2 + 4i } {4 - iz }$ $ = \\frac{ - i ( \\frac {2}{- i} + \\frac{4i}{- i} ) } { - i ( z + 4i) }$ $= \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $"
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"donnees": [
{
"z_A": "2",
"z_B": "-4*I",
"z_C": "-I"
}
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"enonce": [
"\\textbf {*)} On considère les points A et B d'affixes respectives $ z_A = 2 , z_B = - 4 i $ et $z_C = - i $ \\\\\\\\ à tout point M d'affixe $z$ avec $ z \\neq - 4 i $ on associe le point M' d'affixe $z' = \\frac{2 - z }{4 - iz } $.\\\\\\\\",
" \\textbf {1°)a°)} Déterminer l'ensemble des points M tel que $z'$ est réel\\\\\\\\",
" \\textbf{b°)} Vérifier que $ |z'| = \\frac{AM}{BM}$ \\\\\\\\",
" \\textbf{2°)a°)} Montrer que : $ z'+ i = \\frac{-4 + 2 i } {z + 4i} $ \\\\\\\\\\textbf{b°)}En déduire que si M décrit le cercle de centre B et de rayon r =$\\frac{1}{3}$ alors M' décrit un cercle que l'on precisera.\\\\\\\\"
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"type": "ensemble des points"
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] |
difficile
|
[
"droite",
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"mediatrice",
"z_reel",
"z_imaginaire_pur"
] |
[
"conjugué",
"module",
"complexe",
"ensemble des points"
] |
generateur_math_IA
| 2025-09-19T02:23:12.290000
|
🧠 MathVerse Generator — L’IA tunisienne qui crée des exercices de mathématiques avec raisonnement logique
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🧩 Exemple de structure JSON
{
"chapitre": "Nombres complexes",
"type_exercice": "Module d’un nombre complexe",
"niveau": "Terminale",
"question": "Soit z = 2 + 3i. Calcule |z|.",
"etapes_raisonnement": [
"Rappel : |a + bi| = √(a² + b²)",
"Substitution : a = 2, b = 3",
"Calcul : √(2² + 3²) = √13"
],
"solution_finale": "√13",
"verif_symbolique": "|2 + 3*i| == sqrt(13)"
}
## 📜 Licence et utilisation
**MIT License** — utilisation libre à des fins éducatives, de recherche et de développement, attribution requise.
⚠️ **Attention :** L’utilisation du dataset est libre, mais le **code source du générateur MathVerse reste propriété exclusive d’ABRAMARSOLUTION**.
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