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|---|---|
Filter.Tendsto.add_atTop ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l (𝓝 C) hg : Tendsto g l atTop ⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop ** nontriviality α ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l (𝓝 C) hg : Tendsto g l atTop ✝ : Nontrivial α ⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop ** obtain ⟨C', hC'⟩ : ∃ C', C' < C := exists_lt C ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l (𝓝 C) hg : Tendsto g l atTop ✝ : Nontrivial α C' : α hC' : C' < C ⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop ** refine' tendsto_atTop_add_left_of_le' _ C' _ hg ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l (𝓝 C) hg : Tendsto g l atTop ✝ : Nontrivial α C' : α hC' : C' < C ⊢ ∀ᶠ (x : β) in l, C' ≤ f x ** exact (hf.eventually (lt_mem_nhds hC')).mono fun x => le_of_lt ** Qed | |
Filter.Tendsto.atTop_add ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l atTop hg : Tendsto g l (𝓝 C) ⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop ** conv in _ + _ => rw [add_comm] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l atTop hg : Tendsto g l (𝓝 C) ⊢ Tendsto (fun x => g x + f x) l atTop ** exact hg.add_atTop hf ** Qed | |
Filter.Tendsto.atBot_add ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l atBot hg : Tendsto g l (𝓝 C) ⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atBot ** conv in _ + _ => rw [add_comm] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α C : α hf : Tendsto f l atBot hg : Tendsto g l (𝓝 C) ⊢ Tendsto (fun x => g x + f x) l atBot ** exact hg.add_atBot hf ** Qed | |
nhds_basis_abs_sub_lt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α a : α ⊢ HasBasis (𝓝 a) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε} ** simp only [nhds_eq_iInf_abs_sub, abs_sub_comm (a := a)] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α a : α ⊢ HasBasis (⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |b - a| < r}) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε} ** refine hasBasis_biInf_principal' (fun x hx y hy => ?_) (exists_gt _) ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α a x : α hx : x > 0 y : α hy : y > 0 ⊢ ∃ k, k > 0 ∧ {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < x} ∧ {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < y} ** exact ⟨min x y, lt_min hx hy, fun _ hz => hz.trans_le (min_le_left _ _),
fun _ hz => hz.trans_le (min_le_right _ _)⟩ ** Qed | |
nhds_basis_Ioo_pos ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α a : α ⊢ HasBasis (𝓝 a) (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε) ** convert nhds_basis_abs_sub_lt a ** case h.e'_5.h α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α a x✝ : α ⊢ Ioo (a - x✝) (a + x✝) = {b | |b - a| < x✝} ** simp only [Ioo, abs_lt, ← sub_lt_iff_lt_add, neg_lt_sub_iff_lt_add, sub_lt_comm] ** Qed | |
nhds_basis_zero_abs_sub_lt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α inst✝¹ : OrderTopology α l : Filter β f g : β → α inst✝ : NoMaxOrder α ⊢ HasBasis (𝓝 0) (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b| < ε} ** simpa using nhds_basis_abs_sub_lt (0 : α) ** Qed | |
IsLUB.frequently_mem ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a hs : Set.Nonempty s ⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, x ∈ s ** rcases hs with ⟨a', ha'⟩ ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a a' : α ha' : a' ∈ s ⊢ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, x ∈ s ** intro h ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a a' : α ha' : a' ∈ s h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, ¬(fun x => x ∈ s) x ⊢ False ** rcases (ha.1 ha').eq_or_lt with (rfl | ha'a) ** case intro.inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β s : Set α a' : α ha' : a' ∈ s ha : IsLUB s a' h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a'] a', ¬(fun x => x ∈ s) x ⊢ False ** exact h.self_of_nhdsWithin le_rfl ha' ** case intro.inr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a a' : α ha' : a' ∈ s h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, ¬(fun x => x ∈ s) x ha'a : a' < a ⊢ False ** rcases (mem_nhdsWithin_Iic_iff_exists_Ioc_subset' ha'a).1 h with ⟨b, hba, hb⟩ ** case intro.inr.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a a' : α ha' : a' ∈ s h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, ¬(fun x => x ∈ s) x ha'a : a' < a b : α hba : b ∈ Iio a hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x} ⊢ False ** rcases ha.exists_between hba with ⟨b', hb's, hb'⟩ ** case intro.inr.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β a : α s : Set α ha : IsLUB s a a' : α ha' : a' ∈ s h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝[Iic a] a, ¬(fun x => x ∈ s) x ha'a : a' < a b : α hba : b ∈ Iio a hb : Ioc b a ⊆ {x | (fun x => ¬(fun x => x ∈ s) x) x} b' : α hb's : b' ∈ s hb' : b < b' ∧ b' ≤ a ⊢ False ** exact hb hb' hb's ** Qed | |
isLUB_of_mem_closure ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β s : Set α a : α hsa : a ∈ upperBounds s hsf : a ∈ closure s ⊢ IsLUB s a ** rw [mem_closure_iff_clusterPt, ClusterPt, inf_comm] at hsf ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : TopologicalSpace β inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : LinearOrder β inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : OrderTopology β s : Set α a : α hsa : a ∈ upperBounds s hsf : NeBot (𝓟 s ⊓ 𝓝 a) ⊢ IsLUB s a ** exact isLUB_of_mem_nhds hsa (mem_principal_self s) ** Qed | |
IsLUB.mem_upperBounds_of_tendsto ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : Preorder γ inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : OrderClosedTopology γ f : α → γ s : Set α a : α b : γ hf : MonotoneOn f s ha : IsLUB s a hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ⊢ b ∈ upperBounds (f '' s) ** rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : Preorder γ inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : OrderClosedTopology γ f : α → γ s : Set α a : α b : γ hf : MonotoneOn f s ha : IsLUB s a hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) x : α hx : x ∈ s ⊢ f x ≤ b ** replace ha := ha.inter_Ici_of_mem hx ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : Preorder γ inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : OrderClosedTopology γ f : α → γ s : Set α a : α b : γ hf : MonotoneOn f s hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) x : α hx : x ∈ s ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a ⊢ f x ≤ b ** haveI := ha.nhdsWithin_neBot ⟨x, hx, le_rfl⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : Preorder γ inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : OrderClosedTopology γ f : α → γ s : Set α a : α b : γ hf : MonotoneOn f s hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) x : α hx : x ∈ s ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a this : NeBot (𝓝[s ∩ Ici x] a) ⊢ f x ≤ b ** refine' ge_of_tendsto (hb.mono_left (nhdsWithin_mono _ (inter_subset_left s (Ici x)))) _ ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : Preorder γ inst✝¹ : TopologicalSpace γ inst✝ : OrderClosedTopology γ f : α → γ s : Set α a : α b : γ hf : MonotoneOn f s hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) x : α hx : x ∈ s ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a this : NeBot (𝓝[s ∩ Ici x] a) ⊢ ∀ᶠ (c : α) in 𝓝[s ∩ Ici x] a, f x ≤ f c ** exact mem_of_superset self_mem_nhdsWithin fun y hy => hf hx hy.1 hy.2 ** Qed | |
IsLUB.exists_seq_strictMono_tendsto_of_not_mem ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** obtain ⟨v, hvx, hvt⟩ := exists_seq_forall_of_frequently (htx.frequently_mem ht) ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvx : Tendsto v atTop (𝓝[Iic x] x) hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** replace hvx := hvx.mono_right nhdsWithin_le_nhds ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** have hvx' : ∀ {n}, v n < x := (htx.1 (hvt _)).lt_of_ne (ne_of_mem_of_not_mem (hvt _) not_mem) ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** have : ∀ k, ∀ᶠ l in atTop, v k < v l := fun k => hvx.eventually (lt_mem_nhds hvx') ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** choose N hN hvN using fun k => ((eventually_gt_atTop k).and (this k)).exists ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l N : ℕ → ℕ hN : ∀ (k : ℕ), k < N k hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k) ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** refine ⟨fun k => v (N^[k] 0), strictMono_nat_of_lt_succ fun _ => ?_, fun _ => hvx',
hvx.comp (strictMono_nat_of_lt_succ fun _ => ?_).tendsto_atTop, fun _ => hvt _⟩ ** case intro.intro.refine_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l N : ℕ → ℕ hN : ∀ (k : ℕ), k < N k hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k) x✝ : ℕ ⊢ v (N^[x✝] 0) < v (N^[x✝ + 1] 0) ** rw [iterate_succ_apply'] ** case intro.intro.refine_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l N : ℕ → ℕ hN : ∀ (k : ℕ), k < N k hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k) x✝ : ℕ ⊢ v (N^[x✝] 0) < v (N (N^[x✝] 0)) ** exact hvN _ ** case intro.intro.refine_2 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l N : ℕ → ℕ hN : ∀ (k : ℕ), k < N k hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k) x✝ : ℕ ⊢ N^[x✝] 0 < N^[x✝ + 1] 0 ** rw [iterate_succ_apply'] ** case intro.intro.refine_2 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x not_mem : ¬x ∈ t ht : Set.Nonempty t v : ℕ → α hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x) hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l N : ℕ → ℕ hN : ∀ (k : ℕ), k < N k hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k) x✝ : ℕ ⊢ N^[x✝] 0 < N (N^[x✝] 0) ** exact hN _ ** Qed | |
IsLUB.exists_seq_monotone_tendsto ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x ht : Set.Nonempty t ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** by_cases h : x ∈ t ** case pos α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x ht : Set.Nonempty t h : x ∈ t ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** exact ⟨fun _ => x, monotone_const, fun n => le_rfl, tendsto_const_nhds, fun _ => h⟩ ** case neg α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x ht : Set.Nonempty t h : ¬x ∈ t ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** rcases htx.exists_seq_strictMono_tendsto_of_not_mem h ht with ⟨u, hu⟩ ** case neg.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : TopologicalSpace β inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : LinearOrder β inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : OrderTopology β t : Set α x : α inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓝 x) htx : IsLUB t x ht : Set.Nonempty t h : ¬x ∈ t u : ℕ → α hu : StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t ** exact ⟨u, hu.1.monotone, fun n => (hu.2.1 n).le, hu.2.2⟩ ** Qed | |
exists_seq_strictMono_tendsto' ** α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁹ : TopologicalSpace β inst✝⁸ : LinearOrder α✝ inst✝⁷ : LinearOrder β inst✝⁶ : OrderTopology α✝ inst✝⁵ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** have hx : x ∉ Ioo y x := fun h => (lt_irrefl x h.2).elim ** α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁹ : TopologicalSpace β inst✝⁸ : LinearOrder α✝ inst✝⁷ : LinearOrder β inst✝⁶ : OrderTopology α✝ inst✝⁵ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x hx : ¬x ∈ Ioo y x ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** have ht : Set.Nonempty (Ioo y x) := nonempty_Ioo.2 hy ** α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁹ : TopologicalSpace β inst✝⁸ : LinearOrder α✝ inst✝⁷ : LinearOrder β inst✝⁶ : OrderTopology α✝ inst✝⁵ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x hx : ¬x ∈ Ioo y x ht : Set.Nonempty (Ioo y x) ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** rcases (isLUB_Ioo hy).exists_seq_strictMono_tendsto_of_not_mem hx ht with ⟨u, hu⟩ ** case intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁹ : TopologicalSpace β inst✝⁸ : LinearOrder α✝ inst✝⁷ : LinearOrder β inst✝⁶ : OrderTopology α✝ inst✝⁵ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x hx : ¬x ∈ Ioo y x ht : Set.Nonempty (Ioo y x) u : ℕ → α hu : StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** exact ⟨u, hu.1, hu.2.2.symm⟩ ** Qed | |
exists_seq_strictMono_tendsto ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : NoMinOrder α inst✝ : FirstCountableTopology α x : α ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** obtain ⟨y, hy⟩ : ∃ y, y < x := exists_lt x ** case intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : NoMinOrder α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** rcases exists_seq_strictMono_tendsto' hy with ⟨u, hu_mono, hu_mem, hux⟩ ** case intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁸ : TopologicalSpace α inst✝⁷ : TopologicalSpace β inst✝⁶ : LinearOrder α inst✝⁵ : LinearOrder β inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : OrderTopology β inst✝² : DenselyOrdered α inst✝¹ : NoMinOrder α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : y < x u : ℕ → α hu_mono : StrictMono u hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo y x hux : Tendsto u atTop (𝓝 x) ⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** exact ⟨u, hu_mono, fun n => (hu_mem n).2, hux⟩ ** Qed | |
exists_seq_tendsto_sSup ** α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β inst✝⁷ : LinearOrder α✝ inst✝⁶ : LinearOrder β inst✝⁵ : OrderTopology α✝ inst✝⁴ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α S : Set α hS : Set.Nonempty S hS' : BddAbove S ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S ** rcases (isLUB_csSup hS hS').exists_seq_monotone_tendsto hS with ⟨u, hu⟩ ** case intro α✝ : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β inst✝⁷ : LinearOrder α✝ inst✝⁶ : LinearOrder β inst✝⁵ : OrderTopology α✝ inst✝⁴ : OrderTopology β α : Type u_1 inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝² : TopologicalSpace α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : FirstCountableTopology α S : Set α hS : Set.Nonempty S hS' : BddAbove S u : ℕ → α hu : Monotone u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ≤ sSup S) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S ⊢ ∃ u, Monotone u ∧ Tendsto u atTop (𝓝 (sSup S)) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ S ** exact ⟨u, hu.1, hu.2.2⟩ ** Qed | |
exists_seq_strictAnti_tendsto' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : TopologicalSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace β inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : LinearOrder β inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : OrderTopology β inst✝¹ : DenselyOrdered α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α hy : x < y ⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ** simpa only [dual_Ioo]
using exists_seq_strictMono_tendsto' (α := αᵒᵈ) (OrderDual.toDual_lt_toDual.2 hy) ** Qed | |
exists_seq_strictAnti_strictMono_tendsto ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : TopologicalSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace β inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : LinearOrder β inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : OrderTopology β inst✝¹ : DenselyOrdered α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α h : x < y ⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y) ** rcases exists_seq_strictAnti_tendsto' h with ⟨u, hu_anti, hu_mem, hux⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : TopologicalSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace β inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : LinearOrder β inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : OrderTopology β inst✝¹ : DenselyOrdered α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α h : x < y u : ℕ → α hu_anti : StrictAnti u hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y hux : Tendsto u atTop (𝓝 x) ⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y) ** rcases exists_seq_strictMono_tendsto' (hu_mem 0).2 with ⟨v, hv_mono, hv_mem, hvy⟩ ** case intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : TopologicalSpace α inst✝⁶ : TopologicalSpace β inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : LinearOrder β inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : OrderTopology β inst✝¹ : DenselyOrdered α inst✝ : FirstCountableTopology α x y : α h : x < y u : ℕ → α hu_anti : StrictAnti u hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y hux : Tendsto u atTop (𝓝 x) v : ℕ → α hv_mono : StrictMono v hv_mem : ∀ (n : ℕ), v n ∈ Ioo (u 0) y hvy : Tendsto v atTop (𝓝 y) ⊢ ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y) ** exact
⟨u, v, hu_anti, hv_mono, hu_mem, fun l => ⟨(hu_mem 0).1.trans (hv_mem l).1, (hv_mem l).2⟩,
fun k l => (hu_anti.antitone (zero_le k)).trans_lt (hv_mem l).1, hux, hvy⟩ ** Qed | |
closure_Ioi' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α h : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ closure (Ioi a) = Ici a ** apply Subset.antisymm ** case h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α h : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ closure (Ioi a) ⊆ Ici a ** exact closure_minimal Ioi_subset_Ici_self isClosed_Ici ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α h : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ Ici a ⊆ closure (Ioi a) ** rw [← diff_subset_closure_iff, Ici_diff_Ioi_same, singleton_subset_iff] ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α h : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ a ∈ closure (Ioi a) ** exact isGLB_Ioi.mem_closure h ** Qed | |
closure_Ioo ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ioo a b) = Icc a b ** apply Subset.antisymm ** case h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ioo a b) ⊆ Icc a b ** exact closure_minimal Ioo_subset_Icc_self isClosed_Icc ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b) ** cases' hab.lt_or_lt with hab hab ** case h₂.inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : a < b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b) ** rw [← diff_subset_closure_iff, Icc_diff_Ioo_same hab.le] ** case h₂.inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : a < b ⊢ {a, b} ⊆ closure (Ioo a b) ** have hab' : (Ioo a b).Nonempty := nonempty_Ioo.2 hab ** case h₂.inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : a < b hab' : Set.Nonempty (Ioo a b) ⊢ {a, b} ⊆ closure (Ioo a b) ** simp only [insert_subset_iff, singleton_subset_iff] ** case h₂.inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : a < b hab' : Set.Nonempty (Ioo a b) ⊢ a ∈ closure (Ioo a b) ∧ b ∈ closure (Ioo a b) ** exact ⟨(isGLB_Ioo hab).mem_closure hab', (isLUB_Ioo hab).mem_closure hab'⟩ ** case h₂.inr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : b < a ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b) ** rw [Icc_eq_empty_of_lt hab] ** case h₂.inr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab✝ : a ≠ b hab : b < a ⊢ ∅ ⊆ closure (Ioo a b) ** exact empty_subset _ ** Qed | |
closure_Ioc ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ioc a b) = Icc a b ** apply Subset.antisymm ** case h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ioc a b) ⊆ Icc a b ** exact closure_minimal Ioc_subset_Icc_self isClosed_Icc ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioc a b) ** apply Subset.trans _ (closure_mono Ioo_subset_Ioc_self) ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b) ** rw [closure_Ioo hab] ** Qed | |
closure_Ico ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ico a b) = Icc a b ** apply Subset.antisymm ** case h₁ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ closure (Ico a b) ⊆ Icc a b ** exact closure_minimal Ico_subset_Icc_self isClosed_Icc ** case h₂ α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ico a b) ** apply Subset.trans _ (closure_mono Ioo_subset_Ico_self) ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α hab : a ≠ b ⊢ Icc a b ⊆ closure (Ioo a b) ** rw [closure_Ioo hab] ** Qed | |
interior_Ici' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ha : Set.Nonempty (Iio a) ⊢ interior (Ici a) = Ioi a ** rw [← compl_Iio, interior_compl, closure_Iio' ha, compl_Iic] ** Qed | |
interior_Icc ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝¹ : NoMinOrder α inst✝ : NoMaxOrder α a b : α ⊢ interior (Icc a b) = Ioo a b ** rw [← Ici_inter_Iic, interior_inter, interior_Ici, interior_Iic, Ioi_inter_Iio] ** Qed | |
interior_Ico ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝ : NoMinOrder α a b : α ⊢ interior (Ico a b) = Ioo a b ** rw [← Ici_inter_Iio, interior_inter, interior_Ici, interior_Iio, Ioi_inter_Iio] ** Qed | |
interior_Ioc ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝ : NoMaxOrder α a b : α ⊢ interior (Ioc a b) = Ioo a b ** rw [← Ioi_inter_Iic, interior_inter, interior_Ioi, interior_Iic, Ioi_inter_Iio] ** Qed | |
Ioc_subset_closure_interior ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α ⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b)) ** rcases eq_or_ne a b with (rfl | h) ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ⊢ Ioc a a ⊆ closure (interior (Ioc a a)) ** simp ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α h : a ≠ b ⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b)) ** calc
Ioc a b ⊆ Icc a b := Ioc_subset_Icc_self
_ = closure (Ioo a b) := (closure_Ioo h).symm
_ ⊆ closure (interior (Ioc a b)) :=
closure_mono (interior_maximal Ioo_subset_Ioc_self isOpen_Ioo) ** Qed | |
Ico_subset_closure_interior ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α ⊢ Ico a b ⊆ closure (interior (Ico a b)) ** simpa only [dual_Ioc] using Ioc_subset_closure_interior (OrderDual.toDual b) (OrderDual.toDual a) ** Qed | |
frontier_Ici' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ha : Set.Nonempty (Iio a) ⊢ frontier (Ici a) = {a} ** simp [frontier, ha] ** Qed | |
frontier_Iic' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ha : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ frontier (Iic a) = {a} ** simp [frontier, ha] ** Qed | |
frontier_Ioi' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ha : Set.Nonempty (Ioi a) ⊢ frontier (Ioi a) = {a} ** simp [frontier, closure_Ioi' ha, Iic_diff_Iio, Icc_self] ** Qed | |
frontier_Iio' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α a : α ha : Set.Nonempty (Iio a) ⊢ frontier (Iio a) = {a} ** simp [frontier, closure_Iio' ha, Iic_diff_Iio, Icc_self] ** Qed | |
frontier_Icc ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝¹ : NoMinOrder α inst✝ : NoMaxOrder α a b : α h : a ≤ b ⊢ frontier (Icc a b) = {a, b} ** simp [frontier, h, Icc_diff_Ioo_same] ** Qed | |
frontier_Ioo ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α h : a < b ⊢ frontier (Ioo a b) = {a, b} ** rw [frontier, closure_Ioo h.ne, interior_Ioo, Icc_diff_Ioo_same h.le] ** Qed | |
frontier_Ico ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝ : NoMinOrder α a b : α h : a < b ⊢ frontier (Ico a b) = {a, b} ** rw [frontier, closure_Ico h.ne, interior_Ico, Icc_diff_Ioo_same h.le] ** Qed | |
frontier_Ioc ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α inst✝ : NoMaxOrder α a b : α h : a < b ⊢ frontier (Ioc a b) = {a, b} ** rw [frontier, closure_Ioc h.ne, interior_Ioc, Icc_diff_Ioo_same h.le] ** Qed | |
nhdsWithin_Ioi_neBot' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b✝ : α s : Set α a b : α H₁ : Set.Nonempty (Ioi a) H₂ : a ≤ b ⊢ b ∈ closure (Ioi a) ** rwa [closure_Ioi' H₁] ** Qed | |
Filter.Eventually.exists_gt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : LinearOrder α inst✝² : OrderTopology α inst✝¹ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α inst✝ : NoMaxOrder α a : α p : α → Prop h : ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 a, p x ⊢ ∃ b, b > a ∧ p b ** simpa only [exists_prop, gt_iff_lt, and_comm] using
((h.filter_mono (@nhdsWithin_le_nhds _ _ a (Ioi a))).and self_mem_nhdsWithin).exists ** Qed | |
nhdsWithin_Iio_neBot' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b✝ : α s : Set α b c : α H₁ : Set.Nonempty (Iio c) H₂ : b ≤ c ⊢ b ∈ closure (Iio c) ** rwa [closure_Iio' H₁] ** Qed | |
comap_coe_nhdsWithin_Iio_of_Ioo_subset ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ⊢ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) = atTop ** nontriviality ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) ⊢ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) = atTop ** haveI : Nonempty s := nontrivial_iff_nonempty.1 ‹_› ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s ⊢ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) = atTop ** rcases hs (nonempty_subtype.1 ‹_›) with ⟨a, h, hs⟩ ** case intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s ⊢ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) = atTop ** ext u ** case intro.intro.a α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } ⊢ u ∈ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) ↔ u ∈ atTop ** constructor ** case intro.intro.a.mp α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } ⊢ u ∈ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) → u ∈ atTop ** rintro ⟨t, ht, hts⟩ ** case intro.intro.a.mp.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } t : Set α ht : t ∈ 𝓝[Iio b] b hts : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ u ⊢ u ∈ atTop ** obtain ⟨x, ⟨hxa : a ≤ x, hxb : x < b⟩, hxt : Ioo x b ⊆ t⟩ :=
(mem_nhdsWithin_Iio_iff_exists_mem_Ico_Ioo_subset h).mp ht ** case intro.intro.a.mp.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } t : Set α ht : t ∈ 𝓝[Iio b] b hts : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ u x : α hxt : Ioo x b ⊆ t hxa : a ≤ x hxb : x < b ⊢ u ∈ atTop ** obtain ⟨y, hxy, hyb⟩ := exists_between hxb ** case intro.intro.a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } t : Set α ht : t ∈ 𝓝[Iio b] b hts : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ u x : α hxt : Ioo x b ⊆ t hxa : a ≤ x hxb : x < b y : α hxy : x < y hyb : y < b ⊢ u ∈ atTop ** refine' mem_of_superset (mem_atTop ⟨y, hs ⟨hxa.trans_lt hxy, hyb⟩⟩) _ ** case intro.intro.a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } t : Set α ht : t ∈ 𝓝[Iio b] b hts : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ u x : α hxt : Ioo x b ⊆ t hxa : a ≤ x hxb : x < b y : α hxy : x < y hyb : y < b ⊢ {b_1 | { val := y, property := (_ : y ∈ s) } ≤ b_1} ⊆ u ** rintro ⟨z, hzs⟩ (hyz : y ≤ z) ** case intro.intro.a.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } t : Set α ht : t ∈ 𝓝[Iio b] b hts : Subtype.val ⁻¹' t ⊆ u x : α hxt : Ioo x b ⊆ t hxa : a ≤ x hxb : x < b y : α hxy : x < y hyb : y < b z : α hzs : z ∈ s hyz : y ≤ z ⊢ { val := z, property := hzs } ∈ u ** exact hts (hxt ⟨hxy.trans_le hyz, hb hzs⟩) ** case intro.intro.a.mpr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } ⊢ u ∈ atTop → u ∈ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) ** intro hu ** case intro.intro.a.mpr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } hu : u ∈ atTop ⊢ u ∈ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) ** obtain ⟨x : s, hx : ∀ z, x ≤ z → z ∈ u⟩ := mem_atTop_sets.1 hu ** case intro.intro.a.mpr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs✝ : Set.Nonempty s → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s }) this : Nonempty ↑s a : α h : a < b hs : Ioo a b ⊆ s u : Set { x // x ∈ s } hu : u ∈ atTop x : ↑s hx : ∀ (z : ↑s), x ≤ z → z ∈ u ⊢ u ∈ comap Subtype.val (𝓝[Iio b] b) ** exact ⟨Ioo x b, Ioo_mem_nhdsWithin_Iio' (hb x.2), fun z hz => hx _ hz.1.le⟩ ** Qed | |
comap_coe_nhdsWithin_Ioi_of_Ioo_subset ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α ha : s ⊆ Ioi a hs : Set.Nonempty s → ∃ b, b > a ∧ Ioo a b ⊆ s h : Set.Nonempty (↑ofDual ⁻¹' s) ⊢ ∃ a_1, a_1 < ↑toDual a ∧ Ioo a_1 (↑toDual a) ⊆ ↑ofDual ⁻¹' s ** simpa only [OrderDual.exists, dual_Ioo] using hs h ** Qed | |
map_coe_atTop_of_Ioo_subset ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s ⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[Iio b] b ** rcases eq_empty_or_nonempty (Iio b) with (hb' | ⟨a, ha⟩) ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s hb' : Iio b = ∅ ⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[Iio b] b ** have : IsEmpty s := ⟨fun x => hb'.subset (hb x.2)⟩ ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s hb' : Iio b = ∅ this : IsEmpty ↑s ⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[Iio b] b ** rw [filter_eq_bot_of_isEmpty atTop, Filter.map_bot, hb', nhdsWithin_empty] ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s a : α ha : a ∈ Iio b ⊢ map Subtype.val atTop = 𝓝[Iio b] b ** rw [← comap_coe_nhdsWithin_Iio_of_Ioo_subset hb fun _ => hs a ha, map_comap_of_mem] ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s a : α ha : a ∈ Iio b ⊢ range Subtype.val ∈ 𝓝[Iio b] b ** rw [Subtype.range_val] ** case inr.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a✝ b : α s : Set α hb : s ⊆ Iio b hs : ∀ (a' : α), a' < b → ∃ a, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s a : α ha : a ∈ Iio b ⊢ s ∈ 𝓝[Iio b] b ** exact (mem_nhdsWithin_Iio_iff_exists_Ioo_subset' ha).2 (hs a ha) ** Qed | |
map_coe_atBot_of_Ioo_subset ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α ha : s ⊆ Ioi a hs : ∀ (b' : α), b' > a → ∃ b, b > a ∧ Ioo a b ⊆ s ⊢ map Subtype.val atBot = 𝓝[Ioi a] a ** refine' (map_coe_atTop_of_Ioo_subset (show ofDual ⁻¹' s ⊆ Iio (toDual a) from ha)
fun b' hb' => _ : _) ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α ha : s ⊆ Ioi a hs : ∀ (b' : α), b' > a → ∃ b, b > a ∧ Ioo a b ⊆ s b' : αᵒᵈ hb' : b' < ↑toDual a ⊢ ∃ a_1, a_1 < ↑toDual a ∧ Ioo a_1 (↑toDual a) ⊆ ↑ofDual ⁻¹' s ** simpa only [OrderDual.exists, dual_Ioo] using hs b' hb' ** Qed | |
tendsto_comp_coe_Ioo_atTop ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β h : a < b ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[Iio b] b) l ** rw [← map_coe_Ioo_atTop h, tendsto_map'_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β h : a < b ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l ** rfl ** Qed | |
tendsto_comp_coe_Ioo_atBot ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β h : a < b ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) l ** rw [← map_coe_Ioo_atBot h, tendsto_map'_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β h : a < b ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l ** rfl ** Qed | |
tendsto_comp_coe_Ioi_atBot ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[Ioi a] a) l ** rw [← map_coe_Ioi_atBot, tendsto_map'_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l ** rfl ** Qed | |
tendsto_comp_coe_Iio_atTop ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[Iio a] a) l ** rw [← map_coe_Iio_atTop, tendsto_map'_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β ⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l ** rfl ** Qed | |
tendsto_Ioo_atTop ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioo a b) ⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Iio b] b) ** rw [← comap_coe_Ioo_nhdsWithin_Iio, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioo a b) ⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[Iio b] b) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Iio b] b) ** rfl ** Qed | |
tendsto_Ioo_atBot ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioo a b) ⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Ioi a] a) ** rw [← comap_coe_Ioo_nhdsWithin_Ioi, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioo a b) ⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[Ioi a] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Ioi a] a) ** rfl ** Qed | |
tendsto_Ioi_atBot ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioi a) ⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Ioi a] a) ** rw [← comap_coe_Ioi_nhdsWithin_Ioi, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Ioi a) ⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[Ioi a] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Ioi a] a) ** rfl ** Qed | |
tendsto_Iio_atTop ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Iio a) ⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Iio a] a) ** rw [← comap_coe_Iio_nhdsWithin_Iio, tendsto_comap_iff] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝³ : TopologicalSpace α inst✝² : LinearOrder α inst✝¹ : OrderTopology α inst✝ : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f✝ : α → β f : β → ↑(Iio a) ⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[Iio a] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[Iio a] a) ** rfl ** Qed | |
Dense.exists_countable_dense_subset_no_bot_top ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s ⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Countable t ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → ¬x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → ¬x ∈ t ** rcases hs.exists_countable_dense_subset with ⟨t, hts, htc, htd⟩ ** case intro.intro.intro α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t ⊢ ∃ t, t ⊆ s ∧ Set.Countable t ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → ¬x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → ¬x ∈ t ** refine' ⟨t \ ({ x | IsBot x } ∪ { x | IsTop x }), _, _, _, fun x hx => _, fun x hx => _⟩ ** case intro.intro.intro.refine'_1 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t ⊢ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ⊆ s ** exact (diff_subset _ _).trans hts ** case intro.intro.intro.refine'_2 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t ⊢ Set.Countable (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ** exact htc.mono (diff_subset _ _) ** case intro.intro.intro.refine'_3 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t ⊢ Dense (t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ** exact htd.diff_finite ((subsingleton_isBot α).finite.union (subsingleton_isTop α).finite) ** case intro.intro.intro.refine'_4 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t x : α hx : IsBot x ⊢ ¬x ∈ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ** simp [hx] ** case intro.intro.intro.refine'_5 α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s✝ : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : Nontrivial α s : Set α inst✝ : SeparableSpace ↑s hs : Dense s t : Set α hts : t ⊆ s htc : Set.Countable t htd : Dense t x : α hx : IsTop x ⊢ ¬x ∈ t \ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x}) ** simp [hx] ** Qed | |
exists_countable_dense_no_bot_top ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : LinearOrder α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : DenselyOrdered α a b : α s : Set α l : Filter β f : α → β inst✝¹ : SeparableSpace α inst✝ : Nontrivial α ⊢ ∃ s, Set.Countable s ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → ¬x ∈ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → ¬x ∈ s ** simpa using dense_univ.exists_countable_dense_subset_no_bot_top ** Qed | |
Monotone.map_iSup_of_continuousAt' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Mf : Monotone f bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝ ⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i) ** rw [iSup, Monotone.map_sSup_of_continuousAt' Cf Mf (range_nonempty g) bdd, ← range_comp, iSup] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Mf : Monotone f bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝ ⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Monotone.map_iInf_of_continuousAt' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iInf g) Mf : Monotone f bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝ ⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i) ** rw [iInf, Monotone.map_sInf_of_continuousAt' Cf Mf (range_nonempty g) bdd, ← range_comp, iInf] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iInf g) Mf : Monotone f bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝ ⊢ sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Antitone.map_iInf_of_continuousAt' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iInf g) Af : Antitone f bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝ ⊢ f (⨅ i, g i) = ⨆ i, f (g i) ** rw [iInf, Antitone.map_sInf_of_continuousAt' Cf Af (range_nonempty g) bdd, ← range_comp, iSup] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iInf g) Af : Antitone f bdd : autoParam (BddBelow (range g)) _auto✝ ⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Antitone.map_iSup_of_continuousAt' ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Af : Antitone f bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝ ⊢ f (⨆ i, g i) = ⨅ i, f (g i) ** rw [iSup, Antitone.map_sSup_of_continuousAt' Cf Af (range_nonempty g) bdd, ← range_comp, iInf] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁶ : TopologicalSpace α inst✝⁵ : OrderTopology α inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝³ : TopologicalSpace β inst✝² : OrderClosedTopology β inst✝¹ : Nonempty γ ι : Sort u_1 inst✝ : Nonempty ι f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Af : Antitone f bdd : autoParam (BddAbove (range g)) _auto✝ ⊢ sInf (range (f ∘ g)) = sInf (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Monotone.map_sSup_of_continuousAt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : CompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f fbot : f ⊥ = ⊥ ⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s) ** cases' s.eq_empty_or_nonempty with h h ** case inl α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : CompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f fbot : f ⊥ = ⊥ h : s = ∅ ⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s) ** simp [h, fbot] ** case inr α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : CompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f fbot : f ⊥ = ⊥ h : Set.Nonempty s ⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s) ** exact Mf.map_sSup_of_continuousAt' Cf h ** Qed | |
Monotone.map_iSup_of_continuousAt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : CompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ ι : Sort u_1 f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Mf : Monotone f fbot : f ⊥ = ⊥ ⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i) ** rw [iSup, Mf.map_sSup_of_continuousAt Cf fbot, ← range_comp, iSup] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : CompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ ι : Sort u_1 f : α → β g : ι → α Cf : ContinuousAt f (iSup g) Mf : Monotone f fbot : f ⊥ = ⊥ ⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Monotone.map_csSup_of_continuousAt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f ne : Set.Nonempty s H : BddAbove s ⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s) ** refine' ((isLUB_csSup (ne.image f) (Mf.map_bddAbove H)).unique _).symm ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f ne : Set.Nonempty s H : BddAbove s ⊢ IsLUB (f '' s) (f (sSup s)) ** refine' (isLUB_csSup ne H).isLUB_of_tendsto (fun x _ y _ xy => Mf xy) ne _ ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β s : Set α Cf : ContinuousAt f (sSup s) Mf : Monotone f ne : Set.Nonempty s H : BddAbove s ⊢ Tendsto f (𝓝[s] sSup s) (𝓝 (f (sSup s))) ** exact Cf.mono_left inf_le_left ** Qed | |
Monotone.map_ciSup_of_continuousAt ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β g : γ → α Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i) Mf : Monotone f H : BddAbove (range g) ⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i) ** rw [iSup, Mf.map_csSup_of_continuousAt Cf (range_nonempty _) H, ← range_comp, iSup] ** α : Type u β : Type v γ : Type w inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α inst✝⁵ : TopologicalSpace α inst✝⁴ : OrderTopology α inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝² : TopologicalSpace β inst✝¹ : OrderClosedTopology β inst✝ : Nonempty γ f : α → β g : γ → α Cf : ContinuousAt f (⨆ i, g i) Mf : Monotone f H : BddAbove (range g) ⊢ sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i)) ** rfl ** Qed | |
Monotone.tendsto_nhdsWithin_Iio ** α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α ⊢ Tendsto f (𝓝[Iio x] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x))) ** rcases eq_empty_or_nonempty (Iio x) with (h | h) ** case inr α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) ⊢ Tendsto f (𝓝[Iio x] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x))) ** refine' tendsto_order.2 ⟨fun l hl => _, fun m hm => _⟩ ** case inl α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Iio x = ∅ ⊢ Tendsto f (𝓝[Iio x] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x))) ** simp [h] ** case inr.refine'_1 α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) l : β hl : l < sSup (f '' Iio x) ⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[Iio x] x, l < f b ** obtain ⟨z, zx, lz⟩ : ∃ a : α, a < x ∧ l < f a := by
simpa only [mem_image, exists_prop, exists_exists_and_eq_and] using
exists_lt_of_lt_csSup (nonempty_image_iff.2 h) hl ** case inr.refine'_1.intro.intro α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) l : β hl : l < sSup (f '' Iio x) z : α zx : z < x lz : l < f z ⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[Iio x] x, l < f b ** exact mem_of_superset (Ioo_mem_nhdsWithin_Iio' zx) fun y hy => lz.trans_le (Mf hy.1.le) ** α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) l : β hl : l < sSup (f '' Iio x) ⊢ ∃ a, a < x ∧ l < f a ** simpa only [mem_image, exists_prop, exists_exists_and_eq_and] using
exists_lt_of_lt_csSup (nonempty_image_iff.2 h) hl ** case inr.refine'_2 α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) m : β hm : m > sSup (f '' Iio x) ⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[Iio x] x, f b < m ** refine mem_of_superset self_mem_nhdsWithin fun _ hy => lt_of_le_of_lt ?_ hm ** case inr.refine'_2 α✝ : Type u β✝ : Type v γ : Type w inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝ inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝ inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝ inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝ inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝ inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝ inst✝⁶ : Nonempty γ α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝⁵ : LinearOrder α inst✝⁴ : TopologicalSpace α inst✝³ : OrderTopology α inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β inst✝¹ : TopologicalSpace β inst✝ : OrderTopology β f : α → β Mf : Monotone f x : α h : Set.Nonempty (Iio x) m : β hm : m > sSup (f '' Iio x) x✝ : α hy : x✝ ∈ Iio x ⊢ f x✝ ≤ sSup (f '' Iio x) ** exact le_csSup (Mf.map_bddAbove bddAbove_Iio) (mem_image_of_mem _ hy) ** Qed | |
Cardinal.lift_continuum ** ⊢ lift.{v, u_1} 𝔠 = 𝔠 ** rw [← two_power_aleph0, lift_two_power, lift_aleph0, two_power_aleph0] ** Qed | |
Cardinal.continuum_le_lift ** c : Cardinal.{u} ⊢ 𝔠 ≤ lift.{v, u} c ↔ 𝔠 ≤ c ** rw [← lift_continuum.{u,v}, lift_le] ** Qed | |
Cardinal.lift_le_continuum ** c : Cardinal.{u} ⊢ lift.{v, u} c ≤ 𝔠 ↔ c ≤ 𝔠 ** rw [← lift_continuum.{u,v}, lift_le] ** Qed | |
Cardinal.continuum_lt_lift ** c : Cardinal.{u} ⊢ 𝔠 < lift.{v, u} c ↔ 𝔠 < c ** rw [← lift_continuum.{u,v}, lift_lt] ** Qed | |
Cardinal.lift_lt_continuum ** c : Cardinal.{u} ⊢ lift.{v, u} c < 𝔠 ↔ c < 𝔠 ** rw [← lift_continuum.{u,v}, lift_lt] ** Qed | |
Cardinal.beth_one ** ⊢ beth 1 = 𝔠 ** simpa using beth_succ 0 ** Qed | |
Cardinal.mk_set_nat ** ⊢ #(Set ℕ) = 𝔠 ** simp ** Qed | |
Cardinal.aleph_one_le_continuum ** ⊢ aleph 1 ≤ 𝔠 ** rw [← succ_aleph0] ** ⊢ Order.succ ℵ₀ ≤ 𝔠 ** exact Order.succ_le_of_lt aleph0_lt_continuum ** Qed | |
Cardinal.continuum_power_aleph0 ** ⊢ 𝔠 ^ ℵ₀ = 𝔠 ** rw [← two_power_aleph0, ← power_mul, mul_eq_left le_rfl le_rfl aleph0_ne_zero] ** Qed | |
ONote.repr_ofNat ** n : ℕ ⊢ repr ↑n = ↑n ** cases n <;> simp ** Qed | |
ONote.omega_le_oadd ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote ⊢ ω ^ repr e ≤ repr (oadd e n a) ** refine' le_trans _ (le_add_right _ _) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote ⊢ ω ^ repr e ≤ ω ^ repr e * ↑↑n ** simpa using (Ordinal.mul_le_mul_iff_left <| opow_pos (repr e) omega_pos).2 (nat_cast_le.2 n.2) ** Qed | |
ONote.eq_of_cmp_eq ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : cmp (oadd e n a) 0 = Ordering.eq ⊢ oadd e n a = 0 ** injection h ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : cmp 0 (oadd e n a) = Ordering.eq ⊢ 0 = oadd e n a ** injection h ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h : cmp (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₂ n₂ a₂ ** revert h ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote ⊢ cmp (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂) = Ordering.eq → oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₂ n₂ a₂ ** simp only [cmp] ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote ⊢ Ordering.orElse (cmp e₁ e₂) (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq → oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₂ n₂ a₂ ** cases h₁ : cmp e₁ e₂ <;> intro h <;> try cases h ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : cmp e₁ e₂ = Ordering.eq h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₂ n₂ a₂ ** obtain rfl := eq_of_cmp_eq h₁ ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₂ ** revert h ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq ⊢ Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq → oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₂ ** cases h₂ : _root_.cmp (n₁ : ℕ) n₂ <;> intro h <;> try cases h ** case eq.eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq h₂ : _root_.cmp ↑n₁ ↑n₂ = Ordering.eq h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₂ ** obtain rfl := eq_of_cmp_eq h ** case eq.eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq h₂ : _root_.cmp ↑n₁ ↑n₂ = Ordering.eq h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₁)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₁ ** rw [_root_.cmp, cmpUsing_eq_eq] at h₂ ** case eq.eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₂ ∧ ¬↑n₂ < ↑n₁ h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₁)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₁ ** obtain rfl := Subtype.eq (eq_of_incomp h₂) ** case eq.eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₁)) = Ordering.eq h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ ¬↑n₁ < ↑n₁ ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₁ a₁ ** simp ** case gt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : cmp e₁ e₂ = Ordering.gt h : Ordering.orElse Ordering.gt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₂ n₂ a₂ ** cases h ** case eq.gt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq h₂ : _root_.cmp ↑n₁ ↑n₂ = Ordering.gt h : Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂)) = Ordering.eq ⊢ oadd e₁ n₁ a₁ = oadd e₁ n₂ a₂ ** cases h ** Qed | |
ONote.zero_lt_one ** ⊢ 0 < 1 ** simp only [lt_def, repr, repr_one, opow_zero, one_mul, add_zero, nat_cast_pos] ** Qed | |
ONote.NFBelow.fst ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ NF e ** (cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃; exact ⟨⟨_, h₁⟩⟩) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ NF e ** cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃ ** case oadd' e : ONote n : ℕ+ a : ONote b eb : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b ⊢ NF e ** exact ⟨⟨_, h₁⟩⟩ ** Qed | |
ONote.NFBelow.snd ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ NFBelow a (repr e) ** (cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃; exact h₂) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ NFBelow a (repr e) ** cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃ ** case oadd' e : ONote n : ℕ+ a : ONote b eb : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b ⊢ NFBelow a (repr e) ** exact h₂ ** Qed | |
ONote.NFBelow.lt ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ repr e < b ** (cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃; exact h₃) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b ⊢ repr e < b ** cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃ ** case oadd' e : ONote n : ℕ+ a : ONote b eb : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b ⊢ repr e < b ** exact h₃ ** Qed | |
ONote.NF.zero_of_zero ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) e0 : e = 0 ⊢ a = 0 ** simpa [e0, NFBelow_zero] using h.snd' ** Qed | |
ONote.NFBelow.repr_lt ** o : ONote b : Ordinal.{0} h : NFBelow o b ⊢ repr o < ω ^ b ** induction' h with _ e n a eb b h₁ h₂ h₃ _ IH ** case zero o : ONote b b✝ : Ordinal.{0} ⊢ repr 0 < ω ^ b✝ ** exact opow_pos _ omega_pos ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ repr (ONote.oadd e n a) < ω ^ b ** rw [repr] ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a < ω ^ b ** apply ((add_lt_add_iff_left _).2 IH).trans_le ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n + ω ^ repr e ≤ ω ^ b ** rw [← mul_succ] ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ ω ^ repr e * succ ↑↑n ≤ ω ^ b ** apply (mul_le_mul_left' (succ_le_of_lt (nat_lt_omega _)) _).trans ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ ω ^ repr e * ω ≤ ω ^ b ** rw [← opow_succ] ** case oadd' o : ONote b✝ : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝ : repr e < ω ^ eb IH : repr a < ω ^ repr e ⊢ ω ^ succ (repr e) ≤ ω ^ b ** exact opow_le_opow_right omega_pos (succ_le_of_lt h₃) ** Qed | |
ONote.NFBelow.mono ** o : ONote b₁ b₂ : Ordinal.{0} bb : b₁ ≤ b₂ h : NFBelow o b₁ ⊢ NFBelow o b₂ ** induction' h with _ e n a eb b h₁ h₂ h₃ _ _ <;> constructor ** case oadd'.a o : ONote b₁ b₂ : Ordinal.{0} bb✝ : b₁ ≤ b₂ e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → NFBelow e b₂ a_ih✝ : repr e ≤ b₂ → NFBelow a b₂ bb : b ≤ b₂ ⊢ NFBelow e ?oadd'.eb case oadd'.a o : ONote b₁ b₂ : Ordinal.{0} bb✝ : b₁ ≤ b₂ e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → NFBelow e b₂ a_ih✝ : repr e ≤ b₂ → NFBelow a b₂ bb : b ≤ b₂ ⊢ NFBelow a (repr e) case oadd'.a o : ONote b₁ b₂ : Ordinal.{0} bb✝ : b₁ ≤ b₂ e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → NFBelow e b₂ a_ih✝ : repr e ≤ b₂ → NFBelow a b₂ bb : b ≤ b₂ ⊢ repr e < b₂ case oadd'.eb o : ONote b₁ b₂ : Ordinal.{0} bb✝ : b₁ ≤ b₂ e : ONote n : ℕ+ a : ONote eb b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b a_ih✝¹ : eb ≤ b₂ → NFBelow e b₂ a_ih✝ : repr e ≤ b₂ → NFBelow a b₂ bb : b ≤ b₂ ⊢ Ordinal.{0} ** exacts[h₁, h₂, lt_of_lt_of_le h₃ bb] ** Qed | |
ONote.NF.below_of_lt ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} H : repr e < b b' : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b' ⊢ NFBelow (ONote.oadd e n a) b ** (cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃; exact NFBelow.oadd' h₁ h₂ H) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} H : repr e < b b' : Ordinal.{0} h : NFBelow (ONote.oadd e n a) b' ⊢ NFBelow (ONote.oadd e n a) b ** cases' h with _ _ _ _ eb _ h₁ h₂ h₃ ** case oadd' e : ONote n : ℕ+ a : ONote b : Ordinal.{0} H : repr e < b b' eb : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow e eb h₂ : NFBelow a (repr e) h₃ : repr e < b' ⊢ NFBelow (ONote.oadd e n a) b ** exact NFBelow.oadd' h₁ h₂ H ** Qed | |
ONote.oadd_lt_oadd_2 ** e o₁ o₂ : ONote n₁ n₂ : ℕ+ h₁ : NF (oadd e n₁ o₁) h : ↑n₁ < ↑n₂ ⊢ oadd e n₁ o₁ < oadd e n₂ o₂ ** simp only [lt_def, repr] ** e o₁ o₂ : ONote n₁ n₂ : ℕ+ h₁ : NF (oadd e n₁ o₁) h : ↑n₁ < ↑n₂ ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n₁ + repr o₁ < ω ^ repr e * ↑↑n₂ + repr o₂ ** refine' lt_of_lt_of_le ((add_lt_add_iff_left _).2 h₁.snd'.repr_lt) (le_trans _ (le_add_right _ _)) ** e o₁ o₂ : ONote n₁ n₂ : ℕ+ h₁ : NF (oadd e n₁ o₁) h : ↑n₁ < ↑n₂ ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n₁ + ω ^ repr e ≤ ω ^ repr e * ↑↑n₂ ** rwa [← mul_succ,Ordinal.mul_le_mul_iff_left (opow_pos _ omega_pos), succ_le_iff, nat_cast_lt] ** Qed | |
ONote.oadd_lt_oadd_3 ** e : ONote n : ℕ+ a₁ a₂ : ONote h : a₁ < a₂ ⊢ oadd e n a₁ < oadd e n a₂ ** rw [lt_def] ** e : ONote n : ℕ+ a₁ a₂ : ONote h : a₁ < a₂ ⊢ repr (oadd e n a₁) < repr (oadd e n a₂) ** unfold repr ** e : ONote n : ℕ+ a₁ a₂ : ONote h : a₁ < a₂ ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a₁ < ω ^ repr e * ↑↑n + repr a₂ ** exact @add_lt_add_left _ _ _ _ (repr a₁) _ h _ ** Qed | |
ONote.cmp_compares ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ Ordering.Compares (cmp (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** rw [cmp] ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse (cmp e₁ e₂) (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** have IHe := @cmp_compares _ _ h₁.fst h₂.fst ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse (cmp e₁ e₂) (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** simp [Ordering.Compares] at IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : match cmp e₁ e₂, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse (cmp e₁ e₂) (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** revert IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match cmp e₁ e₂, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse (cmp e₁ e₂) (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** cases cmp e₁ e₂ ** case lt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.lt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.lt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) case eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) case gt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.gt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** case lt => intro IHe; exact oadd_lt_oadd_1 h₁ IHe ** case eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) case gt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.gt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** case gt => intro IHe; exact oadd_lt_oadd_1 h₂ IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.lt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.lt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** intro IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : match Ordering.lt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.lt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_1 h₁ IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.gt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** intro IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : match Ordering.gt, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.gt (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_1 h₂ IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ⊢ (match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a) → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** intro IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : match Ordering.eq, e₁, e₂ with | Ordering.lt, a, b => a < b | Ordering.eq, a, b => a = b | Ordering.gt, a, b => b < a ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** dsimp at IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h✝ : o₂ = oadd e₂ n₂ a₂ h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) IHe : e₁ = e₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₂ n₂ a₂) h✝) ** subst IHe ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse (_root_.cmp ↑n₁ ↑n₂) (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** unfold _root_.cmp ** case eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.eq ∨ ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with nh nh ** case eq.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with nhl nhr ** case eq.inr.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nhl : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nhr : (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** rw [ite_eq_iff] at nhr ** case eq.inr.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nhl : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nhr : ↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.gt = Ordering.eq ∨ ¬↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nhr with nhr nhr ** case eq.inr.intro.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nhl : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** obtain rfl := Subtype.eq (eq_of_incomp ⟨(not_lt_of_ge nhl), nhr.left⟩) ** case eq.inr.intro.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** have IHa := @cmp_compares _ _ h₁.snd h₂.snd ** case eq.inr.intro.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : Ordering.Compares (cmp a₁ a₂) a₁ a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** revert IHa ** case eq.inr.intro.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (cmp a₁ a₂) a₁ a₂ → Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** cases cmp a₁ a₂ <;> intro IHa <;> dsimp at IHa ** case eq.inr.intro.inr.lt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ < a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.lt)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) case eq.inr.intro.inr.eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ = a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.eq)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) case eq.inr.intro.inr.gt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ > a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.gt)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** case lt => exact oadd_lt_oadd_3 IHa ** case eq.inr.intro.inr.eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ = a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.eq)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) case eq.inr.intro.inr.gt o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ > a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.gt)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** case gt => exact oadd_lt_oadd_3 IHa ** case eq.inr.intro.inr.eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ = a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.eq)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** subst IHa ** case eq.inr.intro.inr.eq o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₁ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝) ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.eq)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝) ** exact rfl ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.lt ∨ ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.lt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.lt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with nh nh ** case inl o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.lt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.lt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_2 h₁ nh.left ** case inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.lt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.lt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** rw [ite_eq_iff] at nh ** case inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.gt = Ordering.lt ∨ ¬↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.lt) ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.lt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh.right with nh nh <;> cases nh <;> contradiction ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.gt ∨ ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with nh nh ** case inl o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases nh ** case inl.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₁ < ↑n₂ right✝ : Ordering.lt = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** contradiction ** case inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₂ ≤ ↑n₁ ∧ (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with _ nh ** case inr.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nh : (if ↑n₂ < ↑n₁ then Ordering.gt else Ordering.eq) = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** rw [ite_eq_iff] at nh ** case inr.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nh : ↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.gt = Ordering.gt ∨ ¬↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases' nh with nh nh ** case inr.intro.inl o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nh : ↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.gt = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_2 h₂ nh.left ** case inr.intro.inr o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nh : ¬↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases nh ** case inr.intro.inr.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝¹ : ↑n₂ ≤ ↑n₁ left✝ : ¬↑n₂ < ↑n₁ right✝ : Ordering.eq = Ordering.gt ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.gt (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** contradiction ** case eq.inl o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nh : ↑n₁ < ↑n₂ ∧ Ordering.lt = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases nh ** case eq.inl.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) left✝ : ↑n₁ < ↑n₂ right✝ : Ordering.lt = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** contradiction ** case eq.inr.intro.inl o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nhl : ↑n₂ ≤ ↑n₁ nhr : ↑n₂ < ↑n₁ ∧ Ordering.gt = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** cases nhr ** case eq.inr.intro.inl.intro o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₂ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) nhl : ↑n₂ ≤ ↑n₁ left✝ : ↑n₂ < ↑n₁ right✝ : Ordering.gt = Ordering.eq ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq (cmp a₁ a₂))) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₂ a₂) h✝) ** contradiction ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ < a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.lt)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_3 IHa ** o₁ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote h✝¹ : o₁ = oadd e₁ n₁ a₁ o₂ a₂ : ONote h₁ : NF (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) h✝ : o₂ = oadd e₁ n₁ a₂ h₂ : NF (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) nhl : ↑n₁ ≤ ↑n₁ nhr : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ Ordering.eq = Ordering.eq IHa : a₁ > a₂ ⊢ Ordering.Compares (Ordering.orElse Ordering.eq (Ordering.orElse Ordering.eq Ordering.gt)) (namedPattern o₁ (oadd e₁ n₁ a₁) h✝¹) (namedPattern o₂ (oadd e₁ n₁ a₂) h✝) ** exact oadd_lt_oadd_3 IHa ** Qed | |
ONote.NF.of_dvd_omega_opow ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) d : ω ^ b ∣ repr (ONote.oadd e n a) ⊢ b ≤ repr e ∧ ω ^ b ∣ repr a ** have := mt repr_inj.1 (fun h => by injection h : ONote.oadd e n a ≠ 0) ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) d : ω ^ b ∣ repr (ONote.oadd e n a) this : ¬repr (ONote.oadd e n a) = repr 0 ⊢ b ≤ repr e ∧ ω ^ b ∣ repr a ** have L := le_of_not_lt fun l => not_le_of_lt (h.below_of_lt l).repr_lt (le_of_dvd this d) ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) d : ω ^ b ∣ repr (ONote.oadd e n a) this : ¬repr (ONote.oadd e n a) = repr 0 L : b ≤ repr e ⊢ b ≤ repr e ∧ ω ^ b ∣ repr a ** simp at d ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) d : ω ^ b ∣ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a this : ¬repr (ONote.oadd e n a) = repr 0 L : b ≤ repr e ⊢ b ≤ repr e ∧ ω ^ b ∣ repr a ** exact ⟨L, (dvd_add_iff <| (opow_dvd_opow _ L).mul_right _).1 d⟩ ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a : ONote h✝ : NF (ONote.oadd e n a) d : ω ^ b ∣ repr (ONote.oadd e n a) h : ONote.oadd e n a = 0 ⊢ False ** injection h ** Qed | |
ONote.NF.of_dvd_omega ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) ⊢ ω ∣ repr (ONote.oadd e n a) → repr e ≠ 0 ∧ ω ∣ repr a ** (rw [← opow_one ω, ← one_le_iff_ne_zero]; exact h.of_dvd_omega_opow) ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) ⊢ ω ∣ repr (ONote.oadd e n a) → repr e ≠ 0 ∧ ω ∣ repr a ** rw [← opow_one ω, ← one_le_iff_ne_zero] ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (ONote.oadd e n a) ⊢ ω ^ 1 ∣ repr (ONote.oadd e n a) → 1 ≤ repr e ∧ ω ^ 1 ∣ repr a ** exact h.of_dvd_omega_opow ** Qed | |
ONote.add_nfBelow ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b ⊢ NFBelow (oadd e n a + o) b ** have h' := add_nfBelow (h₁.snd.mono <| le_of_lt h₁.lt) h₂ ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b h' : NFBelow (a + o) b ⊢ NFBelow (oadd e n a + o) b ** simp [oadd_add] ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b h' : NFBelow (a + o) b ⊢ NFBelow (addAux e n (a + o)) b ** revert h' ** b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b ⊢ NFBelow (a + o) b → NFBelow (addAux e n (a + o)) b ** cases' a + o with e' n' a' <;> intro h' ** case oadd b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b ⊢ NFBelow (addAux e n (oadd e' n' a')) b ** have : ((e.cmp e').Compares e e') := @cmp_compares _ _ h₁.fst h'.fst ** case oadd b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b this : Ordering.Compares (cmp e e') e e' ⊢ NFBelow (addAux e n (oadd e' n' a')) b ** cases h: cmp e e' <;> dsimp [addAux] <;> simp [h] ** case zero b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b h' : NFBelow zero b ⊢ NFBelow (addAux e n zero) b ** exact NFBelow.oadd h₁.fst NFBelow.zero h₁.lt ** case oadd.lt b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b this : Ordering.Compares (cmp e e') e e' h : cmp e e' = Ordering.lt ⊢ NFBelow (oadd e' n' a') b ** exact h' ** case oadd.eq b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b this : Ordering.Compares (cmp e e') e e' h : cmp e e' = Ordering.eq ⊢ NFBelow (oadd e (n + n') a') b ** simp [h] at this ** case oadd.eq b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b h : cmp e e' = Ordering.eq this : e = e' ⊢ NFBelow (oadd e (n + n') a') b ** subst e' ** case oadd.eq b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e n' a') b h : cmp e e = Ordering.eq ⊢ NFBelow (oadd e (n + n') a') b ** exact NFBelow.oadd h'.fst h'.snd h'.lt ** case oadd.gt b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b this : Ordering.Compares (cmp e e') e e' h : cmp e e' = Ordering.gt ⊢ NFBelow (oadd e n (oadd e' n' a')) b ** simp [h] at this ** case oadd.gt b : Ordinal.{0} e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NFBelow (oadd e n a) b h₂ : NFBelow o b e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h' : NFBelow (oadd e' n' a') b h : cmp e e' = Ordering.gt this : e' < e ⊢ NFBelow (oadd e n (oadd e' n' a')) b ** exact NFBelow.oadd h₁.fst (NF.below_of_lt this ⟨⟨_, h'⟩⟩) h₁.lt ** Qed | |
ONote.repr_add ** o : ONote x✝¹ : NF 0 x✝ : NF o ⊢ repr (0 + o) = repr 0 + repr o ** simp ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** haveI := h₁.snd ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** have h' := repr_add a o ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (a + o) = repr a + repr o ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** conv_lhs at h' => simp [HAdd.hAdd, Add.add] ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** have nf := ONote.add_nf a o ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o nf : NF (a + o) ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** conv at nf => simp [HAdd.hAdd, Add.add] ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o nf : NF (add a o) ⊢ repr (oadd e n a + o) = repr (oadd e n a) + repr o ** conv in _ + o => simp [HAdd.hAdd, Add.add] ** e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o nf : NF (add a o) ⊢ repr (add (oadd e n a) o) = repr (oadd e n a) + repr o ** cases' h : add a o with e' n' a' <;>
simp only [Add.add, add, addAux, h'.symm, h, add_assoc, repr] at nf h₁ ⊢ ** case oadd e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') ⊢ repr (match cmp e e' with | Ordering.lt => oadd e' n' a' | Ordering.eq => oadd e (n + n') a' | Ordering.gt => oadd e n (oadd e' n' a')) = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** have := h₁.fst ** case oadd e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this : NF e ⊢ repr (match cmp e e' with | Ordering.lt => oadd e' n' a' | Ordering.eq => oadd e (n + n') a' | Ordering.gt => oadd e n (oadd e' n' a')) = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** haveI := nf.fst ** case oadd e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' ⊢ repr (match cmp e e' with | Ordering.lt => oadd e' n' a' | Ordering.eq => oadd e (n + n') a' | Ordering.gt => oadd e n (oadd e' n' a')) = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** have ee := cmp_compares e e' ** case oadd e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' ee : Ordering.Compares (cmp e e') e e' ⊢ repr (match cmp e e' with | Ordering.lt => oadd e' n' a' | Ordering.eq => oadd e (n + n') a' | Ordering.gt => oadd e n (oadd e' n' a')) = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** cases he: cmp e e' <;> simp [he] at ee ⊢ ** case oadd.lt e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' he : cmp e e' = Ordering.lt ee : e < e' ⊢ ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a' = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** rw [← add_assoc, @add_absorp _ (repr e') (ω ^ repr e' * (n' : ℕ))] ** case oadd.lt.h₁ e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' he : cmp e e' = Ordering.lt ee : e < e' ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n < ω ^ repr e' ** have := (h₁.below_of_lt ee).repr_lt ** case oadd.lt.h₁ e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝² : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝¹ : NF e this✝ : NF e' he : cmp e e' = Ordering.lt ee : e < e' this : repr (oadd e n a) < ω ^ repr e' ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n < ω ^ repr e' ** unfold repr at this ** case oadd.lt.h₁ e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝² : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝¹ : NF e this✝ : NF e' he : cmp e e' = Ordering.lt ee : e < e' this : ω ^ repr e * ↑↑n + repr a < ω ^ match e' with | zero => 0 | oadd e n a => ω ^ repr e * ↑↑n + repr a ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n < ω ^ repr e' ** cases he': e' <;> simp [he'] at this ⊢ <;>
exact lt_of_le_of_lt (le_add_right _ _) this ** case oadd.lt.h₂ e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' he : cmp e e' = Ordering.lt ee : e < e' ⊢ ω ^ repr e' ≤ ω ^ repr e' * ↑↑n' ** simpa using (Ordinal.mul_le_mul_iff_left <| opow_pos (repr e') omega_pos).2
(nat_cast_le.2 n'.pos) ** case oadd.eq e : ONote n : ℕ+ a o : ONote h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : NF o this✝¹ : NF a h' : repr (add a o) = repr a + repr o e' : ONote n' : ℕ+ a' : ONote h : add a o = oadd e' n' a' nf : NF (oadd e' n' a') this✝ : NF e this : NF e' he : cmp e e' = Ordering.eq ee : e = e' ⊢ ω ^ repr e * (↑↑n + ↑↑n') + repr a' = ω ^ repr e * ↑↑n + (ω ^ repr e' * ↑↑n' + repr a') ** rw [ee, ← add_assoc, ← mul_add, ← Nat.cast_add] ** Qed | |
ONote.sub_nfBelow ** o : ONote b : Ordinal.{0} x✝ : NFBelow 0 b h₂ : NF o ⊢ NFBelow (0 - o) b ** cases o <;> exact NFBelow.zero ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) b ** have h' := sub_nfBelow h₁.snd h₂.snd ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (a₁ - a₂) (repr e₁) ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) b ** simp only [HSub.hSub, Sub.sub, sub] at h' ⊢ ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) ⊢ NFBelow (match cmp e₁ e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match Nat.sub ↑n₁ ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) b ** have := @cmp_compares _ _ h₁.fst h₂.fst ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) this : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ ⊢ NFBelow (match cmp e₁ e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match Nat.sub ↑n₁ ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) b ** cases h : cmp e₁ e₂ <;> simp [sub] ** case lt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) this : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.lt ⊢ NFBelow 0 b ** apply NFBelow.zero ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) this : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.eq ⊢ NFBelow (match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) b ** simp only [h, Ordering.compares_eq] at this ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h : cmp e₁ e₂ = Ordering.eq this : e₁ = e₂ ⊢ NFBelow (match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) b ** subst e₂ ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq ⊢ NFBelow (match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) b ** cases mn : (n₁ : ℕ) - n₂ <;> simp [sub] ** case eq.zero e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero ⊢ NFBelow (if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0) b ** by_cases en : n₁ = n₂ <;> simp [en] ** case pos e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero en : n₁ = n₂ ⊢ NFBelow (sub a₁ a₂) b ** exact h'.mono (le_of_lt h₁.lt) ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero en : ¬n₁ = n₂ ⊢ NFBelow 0 b ** exact NFBelow.zero ** case eq.succ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq n✝ : ℕ mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.succ n✝ ⊢ NFBelow (oadd e₁ (Nat.succPNat n✝) a₁) b ** exact NFBelow.oadd h₁.fst h₁.snd h₁.lt ** case gt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) h' : NFBelow (sub a₁ a₂) (repr e₁) this : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.gt ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b ** exact h₁ ** Qed | |
ONote.repr_sub ** o : ONote x✝ : NF 0 h₂ : NF o ⊢ repr (0 - o) = repr 0 - repr o ** cases o <;> exact (Ordinal.zero_sub _).symm ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** haveI := h₁.snd ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this : NF a₁ ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** haveI := h₂.snd ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** have h' := repr_sub a₁ a₂ ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (a₁ - a₂) = repr a₁ - repr a₂ ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** conv_lhs at h' => dsimp [HSub.hSub, Sub.sub, sub] ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ - oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** conv_lhs => dsimp only [HSub.hSub, Sub.sub]; dsimp only [sub] ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ ⊢ repr (match cmp e₁ e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** have ee := @cmp_compares _ _ h₁.fst h₂.fst ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ ee : Ordering.Compares (cmp e₁ e₂) e₁ e₂ ⊢ repr (match cmp e₁ e₂ with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** cases h : cmp e₁ e₂ <;> simp only [h] at ee ** case lt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.lt ee : Ordering.Compares Ordering.lt e₁ e₂ ⊢ repr (match Ordering.lt with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** rw [Ordinal.sub_eq_zero_iff_le.2] ** case lt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.lt ee : Ordering.Compares Ordering.lt e₁ e₂ ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁) ≤ repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** exact le_of_lt (oadd_lt_oadd_1 h₁ ee) ** case lt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.lt ee : Ordering.Compares Ordering.lt e₁ e₂ ⊢ repr (match Ordering.lt with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = 0 ** rfl ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.eq ee : Ordering.Compares Ordering.eq e₁ e₂ ⊢ repr (match Ordering.eq with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** change e₁ = e₂ at ee ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.eq ee : e₁ = e₂ ⊢ repr (match Ordering.eq with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** subst e₂ ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq ⊢ repr (match Ordering.eq with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** dsimp only ** case eq e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq ⊢ repr (match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** cases mn : (n₁ : ℕ) - n₂ <;> dsimp only ** case eq.zero e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero ⊢ repr (if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** by_cases en : n₁ = n₂ ** case pos e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero en : n₁ = n₂ ⊢ repr (if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** simpa [en] ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero en : ¬n₁ = n₂ ⊢ repr (if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** simp only [en, ite_false] ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.zero en : ¬n₁ = n₂ ⊢ repr 0 = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** exact
(Ordinal.sub_eq_zero_iff_le.2 <|
le_of_lt <|
oadd_lt_oadd_2 h₁ <|
lt_of_le_of_ne (tsub_eq_zero_iff_le.1 mn) (mt PNat.eq en)).symm ** case eq.succ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq n✝ : ℕ mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.succ n✝ ⊢ repr (oadd e₁ (Nat.succPNat n✝) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₁ n₂ a₂) ** simp [Nat.succPNat, -Nat.cast_succ] ** case eq.succ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq n✝ : ℕ mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.succ n✝ ⊢ ω ^ repr e₁ * ↑(Nat.succ n✝) + repr a₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁ - (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₂ + repr a₂) ** rw [(tsub_eq_iff_eq_add_of_le <| le_of_lt <| Nat.lt_of_sub_eq_succ mn).1 mn, add_comm,
Nat.cast_add, mul_add, add_assoc, add_sub_add_cancel] ** case eq.succ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq n✝ : ℕ mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.succ n✝ ⊢ ω ^ repr e₁ * ↑(Nat.succ n✝) + repr a₁ = ω ^ repr e₁ * ↑(Nat.succ n✝) + repr a₁ - repr a₂ ** refine'
(Ordinal.sub_eq_of_add_eq <|
add_absorp h₂.snd'.repr_lt <| le_trans _ (le_add_right _ _)).symm ** case eq.succ e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h₂ : NF (oadd e₁ n₂ a₂) h : cmp e₁ e₁ = Ordering.eq n✝ : ℕ mn : ↑n₁ - ↑n₂ = Nat.succ n✝ ⊢ ω ^ repr e₁ ≤ ω ^ repr e₁ * ↑(Nat.succ n✝) ** simpa using mul_le_mul_left' (nat_cast_le.2 <| Nat.succ_pos _) _ ** case gt e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) this✝ : NF a₁ this : NF a₂ h' : repr (sub a₁ a₂) = repr a₁ - repr a₂ h : cmp e₁ e₂ = Ordering.gt ee : Ordering.Compares Ordering.gt e₁ e₂ ⊢ repr (match Ordering.gt with | Ordering.lt => 0 | Ordering.gt => oadd e₁ n₁ a₁ | Ordering.eq => match ↑n₁ - ↑n₂ with | 0 => if n₁ = n₂ then sub a₁ a₂ else 0 | Nat.succ k => oadd e₁ (Nat.succPNat k) a₁) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) - repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** exact
(Ordinal.sub_eq_of_add_eq <|
add_absorp (h₂.below_of_lt ee).repr_lt <| omega_le_oadd _ _ _).symm ** Qed | |
ONote.oadd_mul_nfBelow ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * oadd e₂ n₂ a₂) (repr e₁ + b₂) ** have IH := oadd_mul_nfBelow h₁ h₂.snd ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * oadd e₂ n₂ a₂) (repr e₁ + b₂) ** by_cases e0 : e₂ = 0 <;> simp [e0, oadd_mul] ** case pos e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : e₂ = 0 ⊢ NFBelow (oadd e₁ (n₁ * n₂) a₁) (repr e₁ + b₂) ** apply NFBelow.oadd h₁.fst h₁.snd ** case pos e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : e₂ = 0 ⊢ repr e₁ < repr e₁ + b₂ ** simpa using (add_lt_add_iff_left (repr e₁)).2 (lt_of_le_of_lt (Ordinal.zero_le _) h₂.lt) ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 ⊢ NFBelow (oadd (e₁ + e₂) n₂ (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂)) (repr e₁ + b₂) ** haveI := h₁.fst ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this : NF e₁ ⊢ NFBelow (oadd (e₁ + e₂) n₂ (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂)) (repr e₁ + b₂) ** haveI := h₂.fst ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ NFBelow (oadd (e₁ + e₂) n₂ (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂)) (repr e₁ + b₂) ** apply NFBelow.oadd ** case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ NF (e₁ + e₂) case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr (e₁ + e₂)) case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ repr (e₁ + e₂) < repr e₁ + b₂ ** infer_instance ** case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr (e₁ + e₂)) ** rwa [repr_add] ** case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ repr (e₁ + e₂) < repr e₁ + b₂ ** rw [repr_add, add_lt_add_iff_left] ** case neg.a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ : ONote b₁ : Ordinal.{0} h₁ : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁) b₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote b₂ : Ordinal.{0} h₂ : NFBelow (oadd e₂ n₂ a₂) b₂ IH : NFBelow (oadd e₁ n₁ a₁ * a₂) (repr e₁ + repr e₂) e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ repr e₂ < b₂ ** exact h₂.lt ** Qed | |
ONote.repr_mul ** o : ONote x✝ : NF 0 h₂ : NF o ⊢ repr (0 * o) = repr 0 * repr o ** cases o <;> exact (zero_mul _).symm ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) ⊢ repr (oadd e₁ n₁ a₁ * oadd e₂ n₂ a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** have IH : repr (mul _ _) = _ := @repr_mul _ _ h₁ h₂.snd ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ⊢ repr (Mul.mul (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂)) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** have ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * (n₁ : ℕ) = ω ^ repr e₁ * (n₁ : ℕ) := by
apply add_absorp h₁.snd'.repr_lt
simpa using (Ordinal.mul_le_mul_iff_left <| opow_pos _ omega_pos).2 (nat_cast_le.2 n₁.2) ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ ⊢ repr (Mul.mul (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂)) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr (oadd e₂ n₂ a₂) ** by_cases e0 : e₂ = 0 <;> simp [e0, mul] ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ⊢ repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ ** apply add_absorp h₁.snd'.repr_lt ** e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ⊢ ω ^ repr e₁ ≤ ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ ** simpa using (Ordinal.mul_le_mul_iff_left <| opow_pos _ omega_pos).2 (nat_cast_le.2 n₁.2) ** case pos e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : e₂ = 0 ⊢ ω ^ repr e₁ * (↑↑n₁ * ↑↑n₂) + repr a₁ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (↑↑n₂ + repr a₂) ** cases' Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero n₂.ne_zero with x xe ** case pos.intro e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : e₂ = 0 x : ℕ xe : ↑n₂ = Nat.succ x ⊢ ω ^ repr e₁ * (↑↑n₁ * ↑↑n₂) + repr a₁ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (↑↑n₂ + repr a₂) ** simp only [xe, h₂.zero_of_zero e0, repr, add_zero] ** case pos.intro e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : e₂ = 0 x : ℕ xe : ↑n₂ = Nat.succ x ⊢ ω ^ repr e₁ * (↑↑n₁ * ↑(Nat.succ x)) + repr a₁ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * ↑(Nat.succ x) ** rw [nat_cast_succ x, add_mul_succ _ ao, mul_assoc] ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 ⊢ repr (Mul.mul (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂)) = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + repr a₂) ** haveI := h₁.fst ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this : NF e₁ ⊢ repr (Mul.mul (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂)) = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + repr a₂) ** haveI := h₂.fst ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ repr (Mul.mul (oadd e₁ n₁ a₁) (oadd e₂ n₂ a₂)) = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + repr a₂) ** simp only [Mul.mul, mul, e0, ite_false, repr._eq_2, repr_add, opow_add, IH, repr, mul_add] ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ ω ^ repr e₁ * ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * repr a₂ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * (ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂) + (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * repr a₂ ** rw [← mul_assoc] ** case neg e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ ω ^ repr e₁ * ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * repr a₂ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * ω ^ repr e₂ * ↑↑n₂ + (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * repr a₂ ** congr 2 ** case neg.e_a.e_a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝ : NF e₁ this : NF e₂ ⊢ ω ^ repr e₁ * ω ^ repr e₂ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * ω ^ repr e₂ ** have := mt repr_inj.1 e0 ** case neg.e_a.e_a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝¹ : NF e₁ this✝ : NF e₂ this : ¬repr e₂ = repr 0 ⊢ ω ^ repr e₁ * ω ^ repr e₂ = (ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ + repr a₁) * ω ^ repr e₂ ** rw [add_mul_limit ao (opow_isLimit_left omega_isLimit this), mul_assoc,
mul_omega_dvd (nat_cast_pos.2 n₁.pos) (nat_lt_omega _)] ** case neg.e_a.e_a e₁ : ONote n₁ : ℕ+ a₁ e₂ : ONote n₂ : ℕ+ a₂ : ONote h₁ : NF (oadd e₁ n₁ a₁) h₂ : NF (oadd e₂ n₂ a₂) IH : repr (mul (oadd e₁ n₁ a₁) a₂) = repr (oadd e₁ n₁ a₁) * repr a₂ ao : repr a₁ + ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ = ω ^ repr e₁ * ↑↑n₁ e0 : ¬e₂ = 0 this✝¹ : NF e₁ this✝ : NF e₂ this : ¬repr e₂ = repr 0 ⊢ ω ∣ ω ^ repr e₂ ** simpa using opow_dvd_opow ω (one_le_iff_ne_zero.2 this) ** Qed | |
ONote.split_eq_scale_split' ** o' : ONote m : ℕ x✝ : NF 0 p : split' 0 = (o', m) ⊢ split 0 = (scale 1 o', m) ** injection p ** o' : ONote m : ℕ x✝ : NF 0 fst_eq✝ : 0 = o' snd_eq✝ : 0 = m ⊢ split 0 = (scale 1 o', m) ** substs o' m ** x✝ : NF 0 ⊢ split 0 = (scale 1 0, 0) ** rfl ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) p : split' (oadd e n a) = (o', m) ⊢ split (oadd e n a) = (scale 1 o', m) ** by_cases e0 : e = 0 <;> simp [e0, split, split'] at p ⊢ ** case pos e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : e = 0 p : 0 = o' ∧ ↑n = m ⊢ 0 = scale 1 o' ∧ ↑n = m ** rcases p with ⟨rfl, rfl⟩ ** case pos.intro e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : e = 0 ⊢ 0 = scale 1 0 ∧ ↑n = ↑n ** exact ⟨rfl, rfl⟩ ** case neg e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 p : oadd (e - 1) n (split' a).1 = o' ∧ (split' a).2 = m ⊢ oadd e n (split a).1 = scale 1 o' ∧ (split a).2 = m ** revert p ** case neg e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 ⊢ oadd (e - 1) n (split' a).1 = o' ∧ (split' a).2 = m → oadd e n (split a).1 = scale 1 o' ∧ (split a).2 = m ** cases' h' : split' a with a' m' ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → oadd e n (split a).1 = scale 1 o' ∧ (split a).2 = m ** haveI := h.fst ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this : NF e ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → oadd e n (split a).1 = scale 1 o' ∧ (split a).2 = m ** haveI := h.snd ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → oadd e n (split a).1 = scale 1 o' ∧ (split a).2 = m ** simp only [split_eq_scale_split' h', and_imp] ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ oadd (e - 1) n a' = o' → m' = m → oadd e n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m ** have : 1 + (e - 1) = e := by
refine' repr_inj.1 _
simp only [repr_add, repr, opow_zero, Nat.succPNat_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero,
repr_sub]
have := mt repr_inj.1 e0
refine' Ordinal.add_sub_cancel_of_le _
have := (one_le_iff_ne_zero.2 this)
exact this ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a this : 1 + (e - 1) = e ⊢ oadd (e - 1) n a' = o' → m' = m → oadd e n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m ** intros ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a this : 1 + (e - 1) = e a✝¹ : oadd (e - 1) n a' = o' a✝ : m' = m ⊢ oadd e n (scale 1 a') = scale 1 o' ∧ m' = m ** substs o' m ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a this : 1 + (e - 1) = e ⊢ oadd e n (scale 1 a') = scale 1 (oadd (e - 1) n a') ∧ m' = m' ** simp [scale, this] ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ 1 + (e - 1) = e ** refine' repr_inj.1 _ ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ repr (1 + (e - 1)) = repr e ** simp only [repr_add, repr, opow_zero, Nat.succPNat_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero,
repr_sub] ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ 1 + (repr e - 1) = repr e ** have := mt repr_inj.1 e0 ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a this : ¬repr e = repr 0 ⊢ 1 + (repr e - 1) = repr e ** refine' Ordinal.add_sub_cancel_of_le _ ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a this : ¬repr e = repr 0 ⊢ 1 ≤ repr e ** have := (one_le_iff_ne_zero.2 this) ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝² : NF e this✝¹ : NF a this✝ : ¬repr e = repr 0 this : 1 ≤ repr e ⊢ 1 ≤ repr e ** exact this ** Qed | |
ONote.nf_repr_split' ** o' : ONote m : ℕ x✝ : NF 0 p : split' 0 = (o', m) ⊢ NF o' ∧ repr 0 = ω * repr o' + ↑m ** injection p ** o' : ONote m : ℕ x✝ : NF 0 fst_eq✝ : 0 = o' snd_eq✝ : 0 = m ⊢ NF o' ∧ repr 0 = ω * repr o' + ↑m ** substs o' m ** x✝ : NF 0 ⊢ NF 0 ∧ repr 0 = ω * repr 0 + ↑0 ** simp [NF.zero] ** e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) p : split' (oadd e n a) = (o', m) ⊢ NF o' ∧ repr (oadd e n a) = ω * repr o' + ↑m ** by_cases e0 : e = 0 <;> simp [e0, split, split'] at p ⊢ ** case pos e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : e = 0 p : 0 = o' ∧ ↑n = m ⊢ NF o' ∧ ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** rcases p with ⟨rfl, rfl⟩ ** case pos.intro e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : e = 0 ⊢ NF 0 ∧ ↑↑n + repr a = ω * repr 0 + ↑↑n ** simp [h.zero_of_zero e0, NF.zero] ** case neg e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 p : oadd (e - 1) n (split' a).1 = o' ∧ (split' a).2 = m ⊢ NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** revert p ** case neg e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 ⊢ oadd (e - 1) n (split' a).1 = o' ∧ (split' a).2 = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** cases' h' : split' a with a' m' ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** haveI := h.fst ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this : NF e ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** haveI := h.snd ** case neg.mk e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** cases' nf_repr_split' h' with IH₁ IH₂ ** case neg.mk.intro e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' ⊢ oadd (e - 1) n (a', m').1 = o' ∧ (a', m').2 = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + repr a = ω * repr o' + ↑m ** simp only [IH₂, and_imp] ** case neg.mk.intro e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' ⊢ oadd (e - 1) n a' = o' → m' = m → NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr o' + ↑m ** intros ** case neg.mk.intro e : ONote n : ℕ+ a o' : ONote m : ℕ h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' a✝¹ : oadd (e - 1) n a' = o' a✝ : m' = m ⊢ NF o' ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr o' + ↑m ** substs o' m ** case neg.mk.intro e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' ⊢ NF (oadd (e - 1) n a') ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr (oadd (e - 1) n a') + ↑m' ** have : (ω : Ordinal.{0}) ^ repr e = ω ^ (1 : Ordinal.{0}) * ω ^ (repr e - 1) := by
have := mt repr_inj.1 e0
rw [← opow_add, Ordinal.add_sub_cancel_of_le (one_le_iff_ne_zero.2 this)] ** case neg.mk.intro e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ⊢ NF (oadd (e - 1) n a') ∧ ω ^ repr e * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr (oadd (e - 1) n a') + ↑m' ** refine' ⟨NF.oadd (by infer_instance) _ _, _⟩ ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝ : NF e this : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' ⊢ ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ** have := mt repr_inj.1 e0 ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ¬repr e = repr 0 ⊢ ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ** rw [← opow_add, Ordinal.add_sub_cancel_of_le (one_le_iff_ne_zero.2 this)] ** e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ⊢ NF (e - 1) ** infer_instance ** case neg.mk.intro.refine'_1 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ⊢ NFBelow a' (repr (e - 1)) ** simp at this ⊢ ** case neg.mk.intro.refine'_1 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω * ω ^ (repr e - 1) ⊢ NFBelow a' (repr e - 1) ** refine'
IH₁.below_of_lt'
((Ordinal.mul_lt_mul_iff_left omega_pos).1 <| lt_of_le_of_lt (le_add_right _ m') _) ** case neg.mk.intro.refine'_1 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω * ω ^ (repr e - 1) ⊢ ω * repr a' + ↑m' < ω * ω ^ (repr e - 1) ** rw [← this, ← IH₂] ** case neg.mk.intro.refine'_1 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω * ω ^ (repr e - 1) ⊢ repr a < ω ^ repr e ** exact h.snd'.repr_lt ** case neg.mk.intro.refine'_2 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ⊢ ω ^ repr e * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr (oadd (e - 1) n a') + ↑m' ** rw [this] ** case neg.mk.intro.refine'_2 e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) e0 : ¬e = 0 a' : ONote m' : ℕ h' : split' a = (a', m') this✝¹ : NF e this✝ : NF a IH₁ : NF a' IH₂ : repr a = ω * repr a' + ↑m' this : ω ^ repr e = ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) ⊢ ω ^ 1 * ω ^ (repr e - 1) * ↑↑n + (ω * repr a' + ↑m') = ω * repr (oadd (e - 1) n a') + ↑m' ** simp [mul_add, mul_assoc, add_assoc] ** Qed | |
ONote.scale_eq_mul ** x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) ⊢ scale x (oadd e n a) = oadd x 1 0 * oadd e n a ** simp only [HMul.hMul] ** x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) ⊢ scale x (oadd e n a) = Mul.mul (oadd x 1 0) (oadd e n a) ** simp only [scale] ** x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) ⊢ oadd (x + e) n (scale x a) = Mul.mul (oadd x 1 0) (oadd e n a) ** haveI := h.snd ** x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) this : NF a ⊢ oadd (x + e) n (scale x a) = Mul.mul (oadd x 1 0) (oadd e n a) ** by_cases e0 : e = 0 ** case pos x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) this : NF a e0 : e = 0 ⊢ oadd (x + e) n (scale x a) = Mul.mul (oadd x 1 0) (oadd e n a) ** simp_rw [scale_eq_mul] ** case pos x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) this : NF a e0 : e = 0 ⊢ oadd (x + e) n (oadd x 1 0 * a) = Mul.mul (oadd x 1 0) (oadd e n a) ** simp [Mul.mul, mul, scale_eq_mul, e0, h.zero_of_zero,
show x + 0 = x from repr_inj.1 (by simp)] ** x : ONote inst✝ : NF x e : ONote n : ℕ+ a : ONote h : NF (oadd e n a) this : NF a e0 : e = 0 ⊢ repr (x + 0) = repr x ** simp ** Qed | |
ONote.repr_scale ** x : ONote inst✝¹ : NF x o : ONote inst✝ : NF o ⊢ repr (scale x o) = ω ^ repr x * repr o ** simp only [scale_eq_mul, repr_mul, repr, PNat.one_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero] ** Qed | |
ONote.nf_repr_split ** o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (o', m) ⊢ NF o' ∧ repr o = repr o' + ↑m ** cases' e : split' o with a n ** case mk o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (o', m) a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) ⊢ NF o' ∧ repr o = repr o' + ↑m ** cases' nf_repr_split' e with s₁ s₂ ** case mk.intro o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (o', m) a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) s₁ : NF a s₂ : repr o = ω * repr a + ↑n ⊢ NF o' ∧ repr o = repr o' + ↑m ** rw [split_eq_scale_split' e] at h ** case mk.intro o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ h : (scale 1 a, n) = (o', m) e : split' o = (a, n) s₁ : NF a s₂ : repr o = ω * repr a + ↑n ⊢ NF o' ∧ repr o = repr o' + ↑m ** injection h ** case mk.intro o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) s₁ : NF a s₂ : repr o = ω * repr a + ↑n fst_eq✝ : scale 1 a = o' snd_eq✝ : n = m ⊢ NF o' ∧ repr o = repr o' + ↑m ** substs o' n ** case mk.intro o : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote s₁ : NF a e : split' o = (a, m) s₂ : repr o = ω * repr a + ↑m ⊢ NF (scale 1 a) ∧ repr o = repr (scale 1 a) + ↑m ** simp only [repr_scale, repr, opow_zero, Nat.succPNat_coe, Nat.cast_one, mul_one, add_zero,
opow_one, s₂.symm, and_true] ** case mk.intro o : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote s₁ : NF a e : split' o = (a, m) s₂ : repr o = ω * repr a + ↑m ⊢ NF (scale 1 a) ** infer_instance ** Qed | |
ONote.split_dvd ** o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (o', m) ⊢ ω ∣ repr o' ** cases' e : split' o with a n ** case mk o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (o', m) a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) ⊢ ω ∣ repr o' ** rw [split_eq_scale_split' e] at h ** case mk o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ h : (scale 1 a, n) = (o', m) e : split' o = (a, n) ⊢ ω ∣ repr o' ** injection h ** case mk o o' : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) fst_eq✝ : scale 1 a = o' snd_eq✝ : n = m ⊢ ω ∣ repr o' ** subst o' ** case mk o : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) snd_eq✝ : n = m ⊢ ω ∣ repr (scale 1 a) ** cases nf_repr_split' e ** case mk.intro o : ONote m : ℕ inst✝ : NF o a : ONote n : ℕ e : split' o = (a, n) snd_eq✝ : n = m left✝ : NF a right✝ : repr o = ω * repr a + ↑n ⊢ ω ∣ repr (scale 1 a) ** simp ** Qed | |
ONote.split_add_lt ** o e : ONote n : ℕ+ a : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (oadd e n a, m) ⊢ repr a + ↑m < ω ^ repr e ** cases' nf_repr_split h with h₁ h₂ ** case intro o e : ONote n : ℕ+ a : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (oadd e n a, m) h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : repr o = repr (oadd e n a) + ↑m ⊢ repr a + ↑m < ω ^ repr e ** cases' h₁.of_dvd_omega (split_dvd h) with e0 d ** case intro.intro o e : ONote n : ℕ+ a : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (oadd e n a, m) h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : repr o = repr (oadd e n a) + ↑m e0 : repr e ≠ 0 d : ω ∣ repr a ⊢ repr a + ↑m < ω ^ repr e ** apply principal_add_omega_opow _ h₁.snd'.repr_lt (lt_of_lt_of_le (nat_lt_omega _) _) ** o e : ONote n : ℕ+ a : ONote m : ℕ inst✝ : NF o h : split o = (oadd e n a, m) h₁ : NF (oadd e n a) h₂ : repr o = repr (oadd e n a) + ↑m e0 : repr e ≠ 0 d : ω ∣ repr a ⊢ ω ≤ ω ^ repr e ** simpa using opow_le_opow_right omega_pos (one_le_iff_ne_zero.2 e0) ** Qed | |
ONote.mulNat_eq_mul ** n : ℕ o : ONote ⊢ mulNat o n = o * ↑n ** cases o <;> cases n <;> rfl ** Qed | |
ONote.scale_opowAux ** e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a m : ℕ ⊢ repr (opowAux e a0 a 0 m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a 0 m) ** cases m <;> simp [opowAux] ** e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ ⊢ repr (opowAux e a0 a (k + 1) m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) ** by_cases h : m = 0 ** case pos e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : m = 0 ⊢ repr (opowAux e a0 a (k + 1) m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) ** simp [h, opowAux, mul_add, opow_add, mul_assoc, scale_opowAux _ _ _ k] ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (opowAux e a0 a (k + 1) m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) ** rw [opowAux] ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) case neg.x_2 e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ m = 0 → False ** swap ** case neg.x_2 e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ m = 0 → False case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) ** assumption ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a (k + 1) m) ** rw [opowAux] ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (scale (0 + mulNat a0 k) a + opowAux 0 a0 a k m) case neg.x_2 e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ m = 0 → False ** swap ** case neg.x_2 e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ m = 0 → False case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (scale (0 + mulNat a0 k) a + opowAux 0 a0 a k m) ** assumption ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ repr (scale (e + mulNat a0 k) a + opowAux e a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (scale (0 + mulNat a0 k) a + opowAux 0 a0 a k m) ** rw [repr_add, repr_scale, scale_opowAux _ _ _ k] ** case neg e a0 a : ONote inst✝² : NF e inst✝¹ : NF a0 inst✝ : NF a k m : ℕ h : ¬m = 0 ⊢ ω ^ repr (e + mulNat a0 k) * repr a + ω ^ repr e * repr (opowAux 0 a0 a k m) = ω ^ repr e * repr (scale (0 + mulNat a0 k) a + opowAux 0 a0 a k m) ** simp only [repr_add, repr_scale, opow_add, mul_assoc, zero_add, mul_add] ** Qed |
Subsets and Splits
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