cosmadrian/romath-bac-verifiable · Datasets at Hugging Face

idx int64 0 6.37k	domain stringclasses 7 values	problem stringlengths 28 772	solution stringlengths 1 1.18k	answer stringlengths 1 238
462	Polynomials	Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului \\(f=X^{3}-2 X+1\\).	0	0
810	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{4}-x\). Să se calculeze \((f \circ f)(0)\).	0	0
890	Linear Algebra	Să se calculeze modulul vectorului \(\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{P M}\), unde \(M(0,1), N(-1,0)\) și \(P(0,-1)\).	0	0
919	Calculus	Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(4^{x}+3 \cdot 2^{x}-4=0\). Să se calculeze expresia \(C_{6}^{1}-C_{6}^{2}+C_{6}^{4}-C_{6}^{5}\).	0	0
968	Geometry	Să se calculeze \(\sin 90^{\circ}+\sin 270^{\circ}\).	0	0
1,507	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1-x+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-f(x)}{x}\).	0	0
1,544	Probability	Să se calculeze \(C_{12}^{3}-C_{12}^{9}\).	0	0
1,546	Calculus	Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^{x}=4^{x}\).	0	0
1,790	Geometry	Să se calculeze \(\sin 2 \pi+\sin 4 \pi\).	0	0
1,791	Geometry	Să se calculeze \(\sin 2 \pi \cdot \sin 4 \pi\).	0	0
1,823	Linear Algebra	Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\vec{v}=-3 \vec{i}+2 \vec{j}\) și \(\vec{w}=2 \vec{i}+3 \vec{j}\).	0	0
1,855	Geometry	Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\). Să se calculeze modulul vectorului \(\\vec{v}=6 \\vec{i}+8 \\vec{j}\). Să se calculeze partea reală a numărului complex \(z=(1+i)^{2}-(1-i)^{2}\).	0	0
1,857	Geometry	Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\). Să se calculeze modulul vectorului \(\\vec{v}=6 \\vec{i}+8 \\vec{j}\). Să se calculeze partea reală a numărului complex \(z=(1+i)^{2}-(1-i)^{2}\). Să se calculeze lungimea înălțimii din \(B\) a triunghiului \(A B C\), dacă \(A B=10\), \(B C=24, C A=26\). Să se calculeze cosinusul unghiului dintre vectorii \(\\vec{u}=\\vec{i}+\\vec{j}\) și \(\\vec{w}=\\vec{i}-\\vec{j}\).	0	0
1,871	Geometry	Să se calculeze produsul \(\left(\operatorname{tg} 1^{\circ}-\operatorname{tg} 7^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{tg} 2^{\circ}-\operatorname{tg} 6^{\circ}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\operatorname{tg} 7^{\circ}-\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\).	0	0
1,934	Linear Algebra	În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\\vec{u}=2 \\cdot \\vec{i}-5 \\cdot \\vec{j}\) și \(\\vec{w}=5 \\cdot \\vec{i}+2 \\cdot \\vec{j}\).	0	0
2,027	Linear Algebra	( \(20 \mathrm{p}\) )} Să se calculeze suma de numere complexe \(i+i^{2}+i^{3}+i^{4}\).	0	0
2,152	Linear Algebra	Să se determine numărul complex \(z\) pentru care \(z-3+4 i=0\). Să se calculeze \(\cos 2 \pi+\cos \pi\).	0	0
2,451	Linear Algebra	Să se determine produsul scalar al vectorilor \(\vec{v}=3 \vec{i}+4 \vec{j}\) și \(\vec{w}=4 \vec{i}-3 \vec{j}\).	0	0
2,497	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2}+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\).	0	0
2,499	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2}+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n^{3}+2}\).	0	0
2,621	Geometry	Să se determine \(a \in \mathbf{R}\) dacă punctul \(A(1,-2)\) aparține cercului de ecuație \(x^{2}+y^{2}-a=0\). Să se calculeze \(\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{3 \pi}{4}\).	0	0
2,703	Geometry	Să se calculeze distanța de la punctul \(A(1,3)\) la dreapta \(x+y-5=0\). Să se calculeze partea reală a produsului de numere complexe \(i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot \ldots \cdot i^{10}\).	0	0
2,978	Probability	Să se calculeze expresia \(E=C_{5}^{1}-C_{5}^{2}+C_{5}^{3}-C_{5}^{4}\).	0	0
3,271	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x-\operatorname{arctg} \cdot x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).	0	0
3,273	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x-\operatorname{arctg} \cdot x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^{2}}\).	0	0
3,852	Geometry	Să se determine lungimea segmentului \([A B]\) cu extremitățile în punctele \(A(1,0,1)\) și \[B(0,1,0)\] Să se calculeze \(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\).	0	0
3,861	Limits	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x e^{-x}\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\).	0	0
3,960	Polynomials	Să se determine restul împărțirii polinomului \(X^{3}-1\) la polinomul \(X^{2}+X+1\).	0	0
4,023	Geometry	Să se calculeze \(\sin 30^{\circ}+\sin \left(-30^{\circ}\right)\).	0	0
4,055	Geometry	Să se calculeze \(\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)+\sin 0+\sin \frac{\pi}{2}\).	0	0
4,056	Linear Algebra	Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\overrightarrow{v_{1}}(1, \sqrt{2})\) și \(\overrightarrow{v_{2}}(\sqrt{2},-1)\).	0	0
4,343	Linear Algebra	Să se calculeze determinantul \(\left\|\begin{array}{ll}\sqrt{1} & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & \sqrt{6}\end{array}\right\|\).	0	0
4,345	Calculus	Dacă \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{3}-x\), să se calculeze \(f(f(1))\).	0	0
4,347	Limits	Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n-1}{3 n+2}\right)^{n}\).	0	0
4,440	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n !}\).	0	0
4,537	Abstract Algebra	Se consideră funcțiile \(f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=5 x-1\) și \(g(x)=\frac{x+1}{5}\). Să se calculeze \((g \\circ f)(x)-x, \\forall x \\in \\mathbf{R}\).	0	0
4,541	Calculus	Se consideră funcția \(h: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, h(x)=e^{x}-1-x\). Să se calculeze \(\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{h(x)}{x}\).	0	0
4,572	Abstract Algebra	Să se calculeze elementul \(\hat{2}^{10}\) în \(\left(\mathrm{Z}_{8}, \cdot\right)\).	0	0
4,573	Probability	Să se calculeze expresia \(E=C_{8}^{3}-C_{8}^{5}\).	0	0
4,710	Geometry	Să se calculeze produsul \(\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{3}\).	0	0
4,849	Polynomials	Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului \(f=X^{3}-X-24\).	0	0
4,872	Geometry	Să se calculeze distanța dintre punctele \(A(-2,-2,-2)\) și \(B(3,3,3)\). Să se calculeze produsul \(\\left(\\cos 1^{\\circ}-\\cos 7^{\\circ}\\right) \\cdot\\left(\\cos 2^{\\circ}-\\cos 6^{\\circ}\\right) \\ldots\\left(\\cos 7^{\\circ}-\\cos 1^{\\circ}\\right)\).	0	0
4,873	Geometry	Să se calculeze \(\sin \frac{5 \pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3}\).	0	0
4,966	Geometry	În sistemul cartezian de coordonate \(x O y\), se consideră punctele \(A(3,6), B(2,4), C(5,5)\). Să se calculeze suma de numere complexe \(i^{1997}+i^{2002}+i^{2007}+i^{2012}\).	0	0
5,055	Calculus	Să se calculeze partea reală a numărului complex \(i^{16}+i^{18}\).	0	0
5,174	Geometry	Să se calculeze \(\cos \pi+\cos 2 \pi\).	0	0
5,252	Geometry	Se consideră mulțimea \(M=\left\{\sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{2}, \sin \pi\right\}\). Să se calculeze produsul elementelor mulțimii \(M\).	0	0
5,537	Polynomials	Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului \(f=X^{4}-X-8\).	0	0
5,970	Linear Algebra	Să se calculeze determinantul matricei \(A=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 1 \\ 1 & 2^{-x}\end{array}\right), x \in \mathbf{R}\).	0	0
6,191	Geometry	Să se calculeze \(\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \cos 179^{\circ}\).	0	0
6,357	Linear Algebra	Să se calculeze suma de numere complexe \(S=i+i^{3}+i^{5}+i^{7}\).	0	0
30	Calculus	Se consideră funcția \(f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n f(n)}{n^{2}+2007}\).	1	1
106	Geometry	Să se calculeze \(\cos ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{\pi}{12}\).	1	1
206	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2007}\). Să se calculeze \((f \circ f)(1)\).	1	1
483	Probability	Să se calculeze expresia \(E=C_{10}^{3}-C_{10}^{7}+C_{8}^{8}\).	1	1
604	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x}{e^{x}}, \forall x \in \mathbf{R}\). Să se determine numărul punctelor de extrem local ale funcției \(f\).	1	1
999	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\sin x+\cos x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).	1	1
1,028	Calculus	Să se arate că \(\log _{2} 10-\log _{2} 5\) este un număr întreg.	1	1
1,369	Geometry	Să se calculeze \(\sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{3}\).	1	1
1,508	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1-x+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0}(f(x))^{x}\).	1	1
1,545	Calculus	Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația \(\log _{2} x=\log _{4} x\).	1	1
1,615	Linear Algebra	Să se calculeze modulul numărului complex \(z=i+i^{2}+\ldots+i^{7}\).	1	1
1,619	Geometry	Să se calculeze \(\sin \pi+\sin \frac{\pi}{2}\).	1	1
1,853	Geometry	Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\).	1	1
1,933	Geometry	În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul de numere complexe \(i \\cdot i^{2} \\cdot i^{3} \\cdot i^{4} \\cdot i^{5} \\cdot i^{6} \\cdot i^{7}\).	1	1
2,155	Linear Algebra	Să se determine numărul complex \(z\) pentru care \(z-3+4 i=0\). Să se calculeze aria triunghiului \(M N P\), unde \(M(1,0), N(3,0), P(2,1)\).	1	1
2,234	Linear Algebra	Se consideră polinoamele \(f, g \in \mathbf{R}[X] f=X^{3}-3 X^{2}-2 m X+8, g=X^{5}, m \in \mathbf{R}\) și matricele \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ -2 & -2\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\). Să se calculeze \(\operatorname{det}\left(I_{2}+A\right)\).	1	1
2,360	Calculus	Dacă funcția \(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=x^{3}+10\), are inversa \(g: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}\), să se calculeze \(g(11)\).	1	1
2,507	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \\rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\operatorname{arctg} x\). Să se calculeze \(\quad \lim _{x \\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).	1	1
2,843	Calculus	Dacă funcția \\(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=3 x-2\\) are inversa \\(g: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}\\), să se calculeze \\(g(1)\\).	1	1
2,850	Limits	Să se calculeze \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}-1}{n^{2}+n+1}\\).	1	1
3,015	Abstract Algebra	Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție \(x * y=x y-2 x-2 y+6, \\forall x, y \\in \\mathbf{R}\). Se consideră funcția \(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=2007 x-2006\). Să se calculeze \((f \\circ f)(1)\).	1	1
3,776	Linear Algebra	Să se calculeze determinantul \(\left\|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right\|\).	1	1
3,853	Geometry	Să se determine lungimea segmentului \([A B]\) cu extremitățile în punctele \(A(1,0,1)\) și \[B(0,1,0)\] Să se calculeze aria totală a cubului cu latura 1.	1	1
3,932	Geometry	Să se calculeze \(\sin 30^{\circ}+\sin 150^{\circ}\).	1	1
3,961	Polynomials	Să se determine restul împărțirii polinomului \(X^{3}-1\) la polinomul \(X^{2}+X+1\). Să se calculeze numărul \(\log _{5} 2 \cdot \log _{2} 5\).	1	1
3,971	Linear Algebra	Să se calculeze modulul numărului complex \(\frac{2+3 i}{3+2 i}\).	1	1
4,083	Geometry	Să se calculeze \(\cos ^{2} 1+\sin ^{2} 1\).	1	1
4,449	Abstract Algebra	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R}^{*} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{1}{x}\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} n f(n)\).	1	1
4,520	Geometry	În reperul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(A_{n}(n, 0)\) și \(B_{n}(0, n)\), cu \(n \in\{1,2,3\}\) și se notează cu \(M\) mulțimea formată din aceste 6 puncte . Să se calculeze aria triunghiului \(A_{1} A_{2} B_{2}\).	1	1
4,780	Abstract Algebra	În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul de numere complexe \(i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot i^{4} \cdot i^{5} \cdot i^{6} \cdot i^{7}\).	1	1
4,796	Linear Algebra	Să se calculeze modulul numărului complex \(\frac{4-3 i}{4+3 i}\).	1	1
4,798	Linear Algebra	Să se calculeze produsul de numere complexe \(p=i \cdot i^{3} \cdot i^{5} \cdot i^{7}\).	1	1
4,870	Geometry	Să se calculeze distanța dintre punctele \(A(-2,-2,-2)\) și \(B(3,3,3)\). Să se calculeze modulul numărului complex \(\\frac{7+5 i}{5-7 i}\).	1	1
5,031	Calculus	Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x+2}=\sqrt{2 x+1}\). Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(4^{x}+16^{x}=20\).	1	1
5,037	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=3 x-\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}\right)\).	1	1
5,249	Geometry	Se consideră mulțimea \(M=\left\{\sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{2}, \sin \pi\right\}\). Să se determine cel mai mare element al mulțimii \(M\).	1	1
5,315	Linear Algebra	Să se calculeze partea reală a numărului complex \(\frac{1}{i}+\frac{1}{i^{8}}\).	1	1
5,338	Geometry	Să se calculeze \(\sin ^{2} \frac{7 \pi}{12}+\cos ^{2} \frac{7 \pi}{12}\).	1	1
5,469	Geometry	Să se calculeze \(\cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4}\). Să se determine soluțiile ecuației \(\cos x=0\) situate în intervalul \([0, \pi]\). Să se calculeze modulul numărului complex \(\left(\cos \frac{\pi}{7}+i \sin \frac{\pi}{7}\right)^{49}\).	1	1
5,823	Geometry	Să se calculeze \(\cos ^{2}\left(75^{\circ}\right)+\cos ^{2}\left(15^{\circ}\right)\).	1	1
5,852	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x \cdot e^{x}\). Să se calculeze \(\int_{0}^{1} f(x) d x\).	1	1
5,971	Linear Algebra	Să se calculeze \(\log _{2} 10-\log _{2} 25+\log _{2} 5\).	1	1
1,550	Calculus	Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{3}+2 x-10\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).	2	2
1,870	Geometry	Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele \(A(-3,3), B(-5,5)\) și \(C(-1,-1)\).	2	2
1,881	Polynomials	Să se determine restul îmarțtirii polinomului \(f=X^{4}+X^{3}+2 X^{2}+X+1\) la polinomul \(g=X+1\).	2	2
2,001	Geometry	Să se calculeze lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 și 8. Să se calculeze modulul vectorului \(\overrightarrow{A C}\), unde \(A(3,3)\) și \(C(4,4)\).	2	2
2,071	Geometry	Să se calculeze aria triunghiului \(A B C\), dacă \(A B=4, A C=6\) și \(B C=8\). Să se determine distanța dintre punctele \(A(\sqrt{2}, 0)\) și \(B(0, \sqrt{2})\).	2	2
2,502	Calculus	Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația \(\log _{3}\left(x^{2}+5\right)=2\).	2	2
2,624	Geometry	Să se determine \(a \in \mathbf{R}\) dacă punctul \(A(1,-2)\) aparține cercului de ecuație \(x^{2}+y^{2}-a=0\). Să se calculeze aria triunghiului \(A B C\) în care \(B C=2, A B=4\) și \(m(\hat{B})=30^{\circ}\).	2	2

462

Polynomials

Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului \\(f=X^{3}-2 X+1\\).

0

810

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{4}-x\). Să se calculeze \((f \circ f)(0)\).

0

890

Linear Algebra

Să se calculeze modulul vectorului \(\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N P}+\overrightarrow{P M}\), unde \(M(0,1), N(-1,0)\) și \(P(0,-1)\).

0

919

Calculus

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(4^{x}+3 \cdot 2^{x}-4=0\). Să se calculeze expresia \(C_{6}^{1}-C_{6}^{2}+C_{6}^{4}-C_{6}^{5}\).

0

968

Geometry

Să se calculeze \(\sin 90^{\circ}+\sin 270^{\circ}\).

0

1,507

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1-x+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-f(x)}{x}\).

0

1,544

Probability

Să se calculeze \(C_{12}^{3}-C_{12}^{9}\).

0

1,546

Calculus

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(2^{x}=4^{x}\).

0

1,790

Geometry

Să se calculeze \(\sin 2 \pi+\sin 4 \pi\).

0

1,791

Geometry

Să se calculeze \(\sin 2 \pi \cdot \sin 4 \pi\).

0

1,823

Linear Algebra

Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\vec{v}=-3 \vec{i}+2 \vec{j}\) și \(\vec{w}=2 \vec{i}+3 \vec{j}\).

0

1,855

Geometry

Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\). Să se calculeze modulul vectorului \(\\vec{v}=6 \\vec{i}+8 \\vec{j}\). Să se calculeze partea reală a numărului complex \(z=(1+i)^{2}-(1-i)^{2}\).

0

1,857

Geometry

Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\). Să se calculeze modulul vectorului \(\\vec{v}=6 \\vec{i}+8 \\vec{j}\). Să se calculeze partea reală a numărului complex \(z=(1+i)^{2}-(1-i)^{2}\). Să se calculeze lungimea înălțimii din \(B\) a triunghiului \(A B C\), dacă \(A B=10\), \(B C=24, C A=26\). Să se calculeze cosinusul unghiului dintre vectorii \(\\vec{u}=\\vec{i}+\\vec{j}\) și \(\\vec{w}=\\vec{i}-\\vec{j}\).

0

1,871

Geometry

Să se calculeze produsul \(\left(\operatorname{tg} 1^{\circ}-\operatorname{tg} 7^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{tg} 2^{\circ}-\operatorname{tg} 6^{\circ}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\operatorname{tg} 7^{\circ}-\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\).

0

1,934

Linear Algebra

În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\\vec{u}=2 \\cdot \\vec{i}-5 \\cdot \\vec{j}\) și \(\\vec{w}=5 \\cdot \\vec{i}+2 \\cdot \\vec{j}\).

0

2,027

Linear Algebra

( \(20 \mathrm{p}\) )} Să se calculeze suma de numere complexe \(i+i^{2}+i^{3}+i^{4}\).

0

2,152

Linear Algebra

Să se determine numărul complex \(z\) pentru care \(z-3+4 i=0\). Să se calculeze \(\cos 2 \pi+\cos \pi\).

0

2,451

Linear Algebra

Să se determine produsul scalar al vectorilor \(\vec{v}=3 \vec{i}+4 \vec{j}\) și \(\vec{w}=4 \vec{i}-3 \vec{j}\).

0

2,497

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2}+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\).

0

2,499

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2}+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n^{3}+2}\).

0

2,621

Geometry

Să se determine \(a \in \mathbf{R}\) dacă punctul \(A(1,-2)\) aparține cercului de ecuație \(x^{2}+y^{2}-a=0\). Să se calculeze \(\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{3 \pi}{4}\).

0

2,703

Geometry

Să se calculeze distanța de la punctul \(A(1,3)\) la dreapta \(x+y-5=0\). Să se calculeze partea reală a produsului de numere complexe \(i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot \ldots \cdot i^{10}\).

0

2,978

Probability

Să se calculeze expresia \(E=C_{5}^{1}-C_{5}^{2}+C_{5}^{3}-C_{5}^{4}\).

0

3,271

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x-\operatorname{arctg} \cdot x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).

0

3,273

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x-\operatorname{arctg} \cdot x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x^{2}}\).

0

3,852

Geometry

Să se determine lungimea segmentului \([A B]\) cu extremitățile în punctele \(A(1,0,1)\) și \[B(0,1,0)\] Să se calculeze \(\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}\).

0

3,861

Limits

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x e^{-x}\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\).

0

3,960

Polynomials

Să se determine restul împărțirii polinomului \(X^{3}-1\) la polinomul \(X^{2}+X+1\).

0

4,023

Geometry

Să se calculeze \(\sin 30^{\circ}+\sin \left(-30^{\circ}\right)\).

0

4,055

Geometry

Să se calculeze \(\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)+\sin 0+\sin \frac{\pi}{2}\).

0

4,056

Linear Algebra

Să se calculeze produsul scalar al vectorilor \(\overrightarrow{v_{1}}(1, \sqrt{2})\) și \(\overrightarrow{v_{2}}(\sqrt{2},-1)\).

0

4,343

Linear Algebra

Să se calculeze determinantul \(\left|\begin{array}{ll}\sqrt{1} & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & \sqrt{6}\end{array}\right|\).

0

4,345

Calculus

Dacă \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{3}-x\), să se calculeze \(f(f(1))\).

0

4,347

Limits

Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n-1}{3 n+2}\right)^{n}\).

0

4,440

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n !}\).

0

4,537

Abstract Algebra

Se consideră funcțiile \(f, g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=5 x-1\) și \(g(x)=\frac{x+1}{5}\). Să se calculeze \((g \\circ f)(x)-x, \\forall x \\in \\mathbf{R}\).

0

4,541

Calculus

Se consideră funcția \(h: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, h(x)=e^{x}-1-x\). Să se calculeze \(\\lim _{x \\rightarrow 0} \\frac{h(x)}{x}\).

0

4,572

Abstract Algebra

Să se calculeze elementul \(\hat{2}^{10}\) în \(\left(\mathrm{Z}_{8}, \cdot\right)\).

0

4,573

Probability

Să se calculeze expresia \(E=C_{8}^{3}-C_{8}^{5}\).

0

4,710

Geometry

Să se calculeze produsul \(\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{3}\).

0

4,849

Polynomials

Să se calculeze suma rădăcinilor polinomului \(f=X^{3}-X-24\).

0

4,872

Geometry

Să se calculeze distanța dintre punctele \(A(-2,-2,-2)\) și \(B(3,3,3)\). Să se calculeze produsul \(\\left(\\cos 1^{\\circ}-\\cos 7^{\\circ}\\right) \\cdot\\left(\\cos 2^{\\circ}-\\cos 6^{\\circ}\\right) \\ldots\\left(\\cos 7^{\\circ}-\\cos 1^{\\circ}\\right)\).

0

4,873

Geometry

Să se calculeze \(\sin \frac{5 \pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3}\).

0

4,966

Geometry

În sistemul cartezian de coordonate \(x O y\), se consideră punctele \(A(3,6), B(2,4), C(5,5)\). Să se calculeze suma de numere complexe \(i^{1997}+i^{2002}+i^{2007}+i^{2012}\).

0

5,055

Calculus

Să se calculeze partea reală a numărului complex \(i^{16}+i^{18}\).

0

5,174

Geometry

Să se calculeze \(\cos \pi+\cos 2 \pi\).

0

5,252

Geometry

Se consideră mulțimea \(M=\left\{\sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{2}, \sin \pi\right\}\). Să se calculeze produsul elementelor mulțimii \(M\).

0

5,537

Polynomials

Să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor polinomului \(f=X^{4}-X-8\).

0

5,970

Linear Algebra

Să se calculeze determinantul matricei \(A=\left(\begin{array}{cc}2^{x} & 1 \\ 1 & 2^{-x}\end{array}\right), x \in \mathbf{R}\).

0

6,191

Geometry

Să se calculeze \(\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \cos 179^{\circ}\).

0

6,357

Linear Algebra

Să se calculeze suma de numere complexe \(S=i+i^{3}+i^{5}+i^{7}\).

0

30

Calculus

Se consideră funcția \(f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n f(n)}{n^{2}+2007}\).

1

106

Geometry

Să se calculeze \(\cos ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{\pi}{12}\).

1

206

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{2007}\). Să se calculeze \((f \circ f)(1)\).

1

483

Probability

Să se calculeze expresia \(E=C_{10}^{3}-C_{10}^{7}+C_{8}^{8}\).

1

604

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{x}{e^{x}}, \forall x \in \mathbf{R}\). Să se determine numărul punctelor de extrem local ale funcției \(f\).

1

999

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\sin x+\cos x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).

1

1,028

Calculus

Să se arate că \(\log _{2} 10-\log _{2} 5\) este un număr întreg.

1

1,369

Geometry

Să se calculeze \(\sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{3}\).

1

1,508

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=1-x+\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0}(f(x))^{x}\).

1

1,545

Calculus

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația \(\log _{2} x=\log _{4} x\).

1

1,615

Linear Algebra

Să se calculeze modulul numărului complex \(z=i+i^{2}+\ldots+i^{7}\).

1

1,619

Geometry

Să se calculeze \(\sin \pi+\sin \frac{\pi}{2}\).

1

1,853

Geometry

Să se calculeze \(2 \\sin \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4}\).

1

1,933

Geometry

În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul de numere complexe \(i \\cdot i^{2} \\cdot i^{3} \\cdot i^{4} \\cdot i^{5} \\cdot i^{6} \\cdot i^{7}\).

1

2,155

Linear Algebra

Să se determine numărul complex \(z\) pentru care \(z-3+4 i=0\). Să se calculeze aria triunghiului \(M N P\), unde \(M(1,0), N(3,0), P(2,1)\).

1

2,234

Linear Algebra

Se consideră polinoamele \(f, g \in \mathbf{R}[X] f=X^{3}-3 X^{2}-2 m X+8, g=X^{5}, m \in \mathbf{R}\) și matricele \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ -2 & -2\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\). Să se calculeze \(\operatorname{det}\left(I_{2}+A\right)\).

1

2,360

Calculus

Dacă funcția \(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=x^{3}+10\), are inversa \(g: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}\), să se calculeze \(g(11)\).

1

2,507

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \\rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\operatorname{arctg} x\). Să se calculeze \(\quad \lim _{x \\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).

1

2,843

Calculus

Dacă funcția \\(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=3 x-2\\) are inversa \\(g: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}\\), să se calculeze \\(g(1)\\).

1

2,850

Limits

Să se calculeze \\(\\lim _{n \\rightarrow \\infty} \\frac{n^{2}-1}{n^{2}+n+1}\\).

1

3,015

Abstract Algebra

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție \(x * y=x y-2 x-2 y+6, \\forall x, y \\in \\mathbf{R}\). Se consideră funcția \(f: \\mathbf{R} \\rightarrow \\mathbf{R}, f(x)=2007 x-2006\). Să se calculeze \((f \\circ f)(1)\).

1

3,776

Linear Algebra

Să se calculeze determinantul \(\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right|\).

1

3,853

Geometry

Să se determine lungimea segmentului \([A B]\) cu extremitățile în punctele \(A(1,0,1)\) și \[B(0,1,0)\] Să se calculeze aria totală a cubului cu latura 1.

1

3,932

Geometry

Să se calculeze \(\sin 30^{\circ}+\sin 150^{\circ}\).

1

3,961

Polynomials

Să se determine restul împărțirii polinomului \(X^{3}-1\) la polinomul \(X^{2}+X+1\). Să se calculeze numărul \(\log _{5} 2 \cdot \log _{2} 5\).

1

3,971

Linear Algebra

Să se calculeze modulul numărului complex \(\frac{2+3 i}{3+2 i}\).

1

4,083

Geometry

Să se calculeze \(\cos ^{2} 1+\sin ^{2} 1\).

1

4,449

Abstract Algebra

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R}^{*} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=\frac{1}{x}\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty} n f(n)\).

1

4,520

Geometry

În reperul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(A_{n}(n, 0)\) și \(B_{n}(0, n)\), cu \(n \in\{1,2,3\}\) și se notează cu \(M\) mulțimea formată din aceste 6 puncte . Să se calculeze aria triunghiului \(A_{1} A_{2} B_{2}\).

1

4,780

Abstract Algebra

În sistemul cartezian \(x O y\) se consideră punctele \(O(0,0), A(1,2), B(1, a)\), cu \(a \in \mathbf{R}\). Să se calculeze produsul de numere complexe \(i \cdot i^{2} \cdot i^{3} \cdot i^{4} \cdot i^{5} \cdot i^{6} \cdot i^{7}\).

1

4,796

Linear Algebra

Să se calculeze modulul numărului complex \(\frac{4-3 i}{4+3 i}\).

1

4,798

Linear Algebra

Să se calculeze produsul de numere complexe \(p=i \cdot i^{3} \cdot i^{5} \cdot i^{7}\).

1

4,870

Geometry

Să se calculeze distanța dintre punctele \(A(-2,-2,-2)\) și \(B(3,3,3)\). Să se calculeze modulul numărului complex \(\\frac{7+5 i}{5-7 i}\).

1

5,031

Calculus

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x+2}=\sqrt{2 x+1}\). Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \(4^{x}+16^{x}=20\).

1

5,037

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=3 x-\sin x\). Să se calculeze \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}\right)\).

1

5,249

Geometry

Se consideră mulțimea \(M=\left\{\sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{5}, \sin \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{2}, \sin \pi\right\}\). Să se determine cel mai mare element al mulțimii \(M\).

1

5,315

Linear Algebra

Să se calculeze partea reală a numărului complex \(\frac{1}{i}+\frac{1}{i^{8}}\).

1

5,338

Geometry

Să se calculeze \(\sin ^{2} \frac{7 \pi}{12}+\cos ^{2} \frac{7 \pi}{12}\).

1

5,469

Geometry

Să se calculeze \(\cos \frac{\pi}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4}\). Să se determine soluțiile ecuației \(\cos x=0\) situate în intervalul \([0, \pi]\). Să se calculeze modulul numărului complex \(\left(\cos \frac{\pi}{7}+i \sin \frac{\pi}{7}\right)^{49}\).

1

5,823

Geometry

Să se calculeze \(\cos ^{2}\left(75^{\circ}\right)+\cos ^{2}\left(15^{\circ}\right)\).

1

5,852

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x \cdot e^{x}\). Să se calculeze \(\int_{0}^{1} f(x) d x\).

1

5,971

Linear Algebra

Să se calculeze \(\log _{2} 10-\log _{2} 25+\log _{2} 5\).

1

1,550

Calculus

Se consideră funcția \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}, f(x)=x^{3}+2 x-10\). Să se calculeze \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}\).

2

1,870

Geometry

Să se calculeze aria triunghiului cu vârfurile în punctele \(A(-3,3), B(-5,5)\) și \(C(-1,-1)\).

2

1,881

Polynomials

Să se determine restul îmarțtirii polinomului \(f=X^{4}+X^{3}+2 X^{2}+X+1\) la polinomul \(g=X+1\).

2

2,001

Geometry

Să se calculeze lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu catetele de lungimi 6 și 8. Să se calculeze modulul vectorului \(\overrightarrow{A C}\), unde \(A(3,3)\) și \(C(4,4)\).

2

2,071

Geometry

Să se calculeze aria triunghiului \(A B C\), dacă \(A B=4, A C=6\) și \(B C=8\). Să se determine distanța dintre punctele \(A(\sqrt{2}, 0)\) și \(B(0, \sqrt{2})\).

2

2,502

Calculus

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale strict pozitive ecuația \(\log _{3}\left(x^{2}+5\right)=2\).

2

2,624

Geometry

Să se determine \(a \in \mathbf{R}\) dacă punctul \(A(1,-2)\) aparține cercului de ecuație \(x^{2}+y^{2}-a=0\). Să se calculeze aria triunghiului \(A B C\) în care \(B C=2, A B=4\) și \(m(\hat{B})=30^{\circ}\).

2